Sendo a função
a) Ache lim (x, y) (0,0) f(x, y).
b) f é contínuo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função f(x, y) definida de duas maneiras diferentes, dependendo se (x, y) é igual a (0,0) ou não. O conteúdo que vamos usar aqui é limite de funções de duas variáveis e continuidade. Precisamos entender como calcular limites em duas dimensões e verificar se a função é contínua no ponto (0,0).
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a parte a) do exercício: encontrar lim(x, y) (0,0) f(x, y). Quando (x, y) neq (0,0), a função é dada por:
f(x, y) = (1 + x^2 y^2)^1x^2 + y^2
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar r^2 = x^2 + y^2 , que é a distância do ponto (x, y) até a origem. Assim, nossa expressão fica:
f(x, y) = (1 + x^2 y^2)^1r^2
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de x^2 y^2 quando r tende a 0. Sabemos que x^2 y^2 <= (x^2 + y^22)^2 = r^44 . Então, x^2 y^2 é da ordem de r^4 .
Portanto, podemos escrever:
1 + x^2 y^2 approx 1 + O(r^4)
Passo 4
Usando a aproximação 1 + a approx e^a quando a é pequeno, temos:
Quando r tende a 0, r^24 também tende a 0, e e^0 = 1 . Portanto, o limite é 1.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b): verificar se f é contínua no ponto (0,0). A definição de continuidade diz que f é contínua em (0,0) se o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0) for igual ao valor da função nesse ponto.
Já vimos que:
lim(x, y) (0,0) f(x, y) = 1
E pelo enunciado, f(0,0) = 1 . Como os dois valores são iguais, a função é contínua em (0,0).