Considere a função:
f(x)= 3^x-5^2 xx, & se x>0 ln (1+3 x25)x, & se x<0 325, & se x=0
a) Calcule lim x 0^+ f(x) e lim x 0^- f(x)
b) Analise a continuidade de f(x) em x=0. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes e precisamos calcular os limites quando x se aproxima de 0 pela direita ( 0^+ ) e pela esquerda ( 0^- ). Depois, vamos ver se a função é contínua em x = 0 .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa limite pela direita e pela esquerda. O limite quando x se aproxima de 0 pela direita ( x 0^+ ) usa a parte da função definida para x > 0 . Já o limite pela esquerda ( x 0^- ) usa a parte definida para x < 0 .

Passo 3

Vamos calcular lim x 0^+ f(x) . Usamos a expressão para x > 0 :
f(x) = 3^x - 5^2xx
Quando x se aproxima de 0, 3^x e 5^2x se aproximam de 1, pois qualquer número elevado a 0 é 1. Então:
lim x 0^+ f(x) = lim x 0^+ 1 - 1x = 00
Essa forma é indeterminada, então vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que permite derivar o numerador e o denominador.

Passo 4

Derivando o numerador e o denominador:
ddx(3^x - 5^2x) = 3^x ln 3 - 2 cdot 5^2x ln 5
ddx(x) = 1
Então:
lim x 0^+ f(x) = lim x 0^+ 3^x ln 3 - 2 cdot 5^2x ln 51 = ln 3 - 2 ln 5

Passo 5

Agora, vamos calcular lim x 0^- f(x) . Usamos a expressão para x < 0 :
f(x) = ln (1 + 3x25)x
Quando x se aproxima de 0, 3x25 também se aproxima de 0, então podemos usar a aproximação ln(1 + y) approx y para y pequeno:
ln (1 + 3x25) approx 3x25
Substituindo na expressão:
lim x 0^- f(x) = lim x 0^- 3x25x = 325

Passo 6

Agora que temos os dois limites, vamos analisar a continuidade em x = 0 . Uma função é contínua em um ponto se o limite pela direita, o limite pela esquerda e o valor da função nesse ponto são iguais.

Passo 7

Comparando os limites e o valor da função:
lim x 0^+ f(x) = ln 3 - 2 ln 5
lim x 0^- f(x) = 325
f(0) = 325
Como ln 3 - 2 ln 5 neq 325 , os limites não são iguais, então a função não é contínua em x = 0 .

Resposta

a) lim x 0^+ f(x) = ln 3 - 2 ln 5 e lim x 0^- f(x) = 325
b) A função f(x) não é contínua em x = 0 , pois os limites laterais são diferentes.

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