Calcule:
lim h 0 1h integral2^2+h raiz5+t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede o limite
limhto 01hintegral2^2+hraiz5+t^2,dt
O conteúdo envolve o teorema fundamental do cálculo e o teorema do valor médio para integrais, pois é um quociente diferencial de uma integral com limite de integração variável.

Passo 2

Definimos
f(t)=raiz5+t^2
Essa função é contínua em R, em particular num entorno de t=2.

Passo 3

Pelo teorema do valor médio para integrais, para cada hneq 0 existe c entre 2 e 2+h tal que
integral2^2+hf(t),dt = f(c),h

Passo 4

Quando hto 0, segue que cto 2. Pela continuidade de f,
f(c)to f(2)=raiz5+2^2=raiz9=3
Assim
limhto 01hintegral2^2+hraiz5+t^2,dt =limhto 0f(c)=3

Resposta

3

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