Avalie os limites abaixo:
lim x infty 4 x-x^52 x^3+x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxtoinfty4x - x^52x^3 + x^2
O tema aqui é limites de funções racionais no infinito, onde comparamos os graus dos polinômios para identificar o comportamento assintótico.

Passo 2

Note que o numerador é um polinômio de grau 5 e o denominador é de grau 3. Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, a magnitude da fração tende a infinito.

Passo 3

Para evidenciar esse comportamento, dividimos numerador e denominador por x^5, o maior grau presente:
4x - x^52x^3 + x^2 = 4xx^5 - x^5x^52x^3x^5 + x^2x^5 = 4x^4 - 12x^2 + 1x^3

Passo 4

Ao fazermos x to infty, temos
tfrac4x^4to0, tfrac2x^2to0 e tfrac1x^3to0.
Logo o numerador tende a -1 e o denominador tende a 0 pelo lado positivo, o que faz a fração divergir para -infty.

Resposta

-infty

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