Júnior se exercita correndo
ou 9 km por dia. Em certo período de dias consecutivos, superior a 7 dias, ele percorreu um tc de 51 km , e, pelo menos uma vez, cada um dos percursos de
e 9 km . Quantas vezes, nesse período, Júnior percorreu a distância de 5 km ?
Resposta:
Resposta:
Passo 1
O enunciado diz que Júnior correu por
dias consecutivos (com
), sempre percorrendo exatamente
,
ou
km por dia, tendo totalizado
km e percorrido cada uma das distâncias pelo menos uma vez. O conteúdo é um problema de equações diofantinas lineares, em que vamos atribuir variáveis ao número de dias de cada tipo de percurso e impor soma total e soma de dias.
Passo 2
Seja
número de dias de
km,
número de dias de
km,
número de dias de
km.
Então temos as equações
Então temos as equações
e
com
(pois cada percurso ocorreu ao menos uma vez).
Passo 3
Da primeira equação isolamos
:
Como
é inteiro,
deve ser múltiplo de
.
Da segunda equação escrevemos
Da segunda equação escrevemos
Passo 4
Substituindo
em
obtemos
Como
também é inteiro e satisfaz
, temos
Passo 5
Como
e
, testamos valores de
e vemos para quais
o valor de
fica inteiro e maior que
:
-
Para
, temos . Testando : -
: inteiro. -
ou : não é inteiro.
-
-
Para
encontra-se que não há combinação que torne inteiro e .
Logo a única solução é
,
,
.
Passo 6
Para
e
calculamos
Confirma-se também na soma de distâncias:
e
,
.
Resposta
Júnior percorreu a distância de
km em
dias.