Júnior se exercita correndo 5 km, 7 km ou 9 km por dia. Em certo período de dias consecutivos, superior a 7 dias, ele percorreu um tc de 51 km , e, pelo menos uma vez, cada um dos percursos de 5 km, 7 km e 9 km . Quantas vezes, nesse período, Júnior percorreu a distância de 5 km ?
Resposta: square

Passo 1

O enunciado diz que Júnior correu por n dias consecutivos (com n>7), sempre percorrendo exatamente 5, 7 ou 9 km por dia, tendo totalizado 51 km e percorrido cada uma das distâncias pelo menos uma vez. O conteúdo é um problema de equações diofantinas lineares, em que vamos atribuir variáveis ao número de dias de cada tipo de percurso e impor soma total e soma de dias.

Passo 2

Seja
x = número de dias de 5 km,
y = número de dias de 7 km,
z = número de dias de 9 km.
Então temos as equações
5x + 7y + 9z = 51
e
x + y + z = n > 7,
com ,x,y,z>=1 (pois cada percurso ocorreu ao menos uma vez).

Passo 3

Da primeira equação isolamos x:
x = 51 - 7y - 9z5
Como x é inteiro, 51 - 7y - 9z deve ser múltiplo de 5.
Da segunda equação escrevemos
n = x + y + z

Passo 4

Substituindo x em n obtemos
n = 51 - 7y - 9z5 + y + z = 51 - 2y - 4z5
Como n também é inteiro e satisfaz n>7, temos
51 - 2y - 4z >= 40 Longrightarrow 2y + 4z <= 11 Longrightarrow y + 2z <= 5,5 Longrightarrow y + 2z <= 5

Passo 5

Como y>=1 e z>=1, testamos valores de z e vemos para quais y<=5-2z o valor de n fica inteiro e maior que 7:
  • Para z=1, temos y<=3. Testando y=1,2,3:
    • y=1: n=51-2cdot1-4cdot15=51-2-45=455=9>7, inteiro.
    • y=2 ou y=3: (51-2y-4)/5 não é inteiro.
  • Para z>=2 encontra-se que não há combinação que torne n inteiro e >=8.
Logo a única solução é z=1, y=1, n=9.

Passo 6

Para z=1 e y=1 calculamos
x = n - y - z = 9 - 1 - 1 = 7
Confirma-se também na soma de distâncias:
5cdot7 + 7cdot1 + 9cdot1 = 35 + 7 + 9 = 51
e x,y,z>=1, n=9>7.

Resposta

Júnior percorreu a distância de 5 km em 7 dias.

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