Avalie a possibilidade de aplicar o teorema do valor final à função
F(s)=\frac{1}{s^{2}+4 s+4}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se podemos usar o Teorema do Valor Final em
F(s)=\frac{1}{s^{2}+4s+4}
e, em caso afirmativo, encontrar
\displaystyle \lim_{t\to\infty}f(t),
onde f(t) é a transformada inversa de F(s). Para aplicar o teorema precisamos saber que, se todos os polos de sF(s) tiverem parte real negativa, então
\lim_{t\to\infty}f(t)=\lim_{s\to0}s\,F(s).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador de F(s):
s^{2}+4s+4=(s+2)^{2}.
Logo
F(s)=\frac{1}{(s+2)^{2}}.
Então
s\,F(s)=\frac{s}{(s+2)^{2}}.
Os polos de sF(s) são os mesmos de (s+2)^{-2}, ou seja, um polo duplo em s=-2. Esse valor tem parte real estritamente negativa e não há polos em s=0 nem em semiplano direito.

Passo 3

Como todos os polos de sF(s) estão em \Re(s)<0, podemos aplicar o Teorema do Valor Final. Basta calcular
\lim_{s\to0}s\,F(s) =\lim_{s\to0}\frac{s}{(s+2)^{2}} =\frac{0}{(0+2)^{2}} =0.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to\infty}f(t)=0.

Exercícios relacionados