Resolva as seguintes equações diferenciais com as condições iniciais dadas:
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
.
O método é decompor a solução em parte homogênea e parte particular
, e depois ajustar as constantes para satisfazer as condições iniciais.
O método é decompor a solução em parte homogênea
Passo 2
Solução da equação homogênea associada
A equação característica é
Logo
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Proposta de solução particular por coeficientes a determinar. Como o lado direito é
, usamos o ansatz
com constantes
. Calculamos derivadas:
Substituindo em
dá
Igualando coeficientes de
e termo constante resulta
Portanto
Passo 4
Solução geral da equação completa
Passo 5
Impondo as condições iniciais:
- Em
:
- Derivando
e avaliando em , achamos