Resolva as seguintes equações diferenciais com as condições iniciais dadas:
\ddot{y}(t)+2 \dot{y}(t)+5 y(t)=t e^{-3 t}, y(0)=0, \dot{y}(0)=0

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{y}(t)+2\dot{y}(t)+5y(t)=t\,e^{-3t},
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e \dot y(0)=0.
O método é decompor a solução em parte homogênea y_h e parte particular y_p, e depois ajustar as constantes para satisfazer as condições iniciais.

Passo 2

Solução da equação homogênea associada
\ddot{y}_h+2\dot{y}_h+5y_h=0.
A equação característica é
r^2+2r+5=0\quad\Longrightarrow\quad r=-1\pm2i.
Logo
y_h(t)=e^{-t}\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Proposta de solução particular por coeficientes a determinar. Como o lado direito é t\,e^{-3t}, usamos o ansatz
y_p(t)=e^{-3t}(a\,t+b),
com constantes a,b. Calculamos derivadas:
y_p' = e^{-3t}\bigl(-3a\,t +a -3b\bigr),
y_p''= e^{-3t}\bigl(9a\,t -6a +9b\bigr).
Substituindo em \ddot y+2\dot y+5y
e^{-3t}\bigl(8a\,t +8b -4a\bigr) \;\stackrel{!}{=}\;t\,e^{-3t} \quad\Longrightarrow\quad 8a\,t +8b -4a = t.
Igualando coeficientes de t e termo constante resulta
8a=1\quad\Longrightarrow\quad a=\tfrac18,
8b-4a=0\quad\Longrightarrow\quad b=\tfrac1{16}.
Portanto
y_p(t)=e^{-3t}\Bigl(\tfrac18\,t+\tfrac1{16}\Bigr).

Passo 4

Solução geral da equação completa
y(t)=y_h(t)+y_p(t) =e^{-t}\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr) +e^{-3t}\Bigl(\tfrac18\,t+\tfrac1{16}\Bigr).

Passo 5

Impondo as condições iniciais:
  1. Em t=0:
y(0)=A + \tfrac1{16}=0 \quad\Longrightarrow\quad A=-\tfrac1{16}.
  1. Derivando y(t) e avaliando em t=0, achamos
\dot y(0)=2B-A - \tfrac1{16}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2B -\bigl(-\tfrac1{16}\bigr)-\tfrac1{16}=0 \;\Longrightarrow\;B=0.

Resposta

\boxed{% y(t)=-\tfrac1{16}\,e^{-t}\cos(2t) \;+\;e^{-3t}\Bigl(\tfrac18\,t+\tfrac1{16}\Bigr). }%

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