Para a EDO homogênea
y^{\prime \prime}(t)+4 y^{\prime}(t)+5 y(t)=0
a solução geral pode ser escrita como
y(t)=c_{1} e^{-2 t} \cos t+c_{2} e^{-2 t} \sin t
Mostre que os parâmetros c_{1} e c_{2} correspondem às condições iniciais y(0)=y_{0} e y^{\prime}(0)=v_{0} via as relações
c_{1}=y_{0}, \quad c_{2}=v_{0}+2 y_{0}

Passo 1

O enunciado dá a EDO homogênea
y''(t) + 4\,y'(t) + 5\,y(t) = 0
com solução geral
y(t) = c_{1}e^{-2t}\cos t + c_{2}e^{-2t}\sin t
e pede para mostrar que, impostas as condições iniciais
y(0)=y_{0},\quad y'(0)=v_{0},
os constantes c_{1} e c_{2} satisfazem
c_{1}=y_{0},\qquad c_{2}=v_{0}+2\,y_{0}.

Passo 2

Calcular y(0). Substituindo t=0 em
y(t)=c_{1}e^{-2t}\cos t + c_{2}e^{-2t}\sin t
vem
y(0)=c_{1}\,e^{0}\cos0 + c_{2}\,e^{0}\sin0 =c_{1}\cdot1\cdot1 + c_{2}\cdot1\cdot0 =c_{1}.
Como y(0)=y_{0}, obtemos
c_{1}=y_{0}.

Passo 3

Calcular a derivada y'(t). Diferenciando
y(t)=c_{1}e^{-2t}\cos t + c_{2}e^{-2t}\sin t
usando produto e cadeia, achamos
y'(t) =e^{-2t}\bigl[c_{1}(-2\cos t-\sin t)+c_{2}(-2\sin t+\cos t)\bigr].

Passo 4

Avaliar y'(0). Em t=0 temos e^{-2\cdot0}=1, \cos0=1, \sin0=0, logo
y'(0)=1\bigl[c_{1}(-2\cdot1-0)+c_{2}(-2\cdot0+1)\bigr] =-2\,c_{1}+c_{2}.
Como y'(0)=v_{0}, segue
v_{0}=-2\,c_{1}+c_{2}.

Passo 5

Isolar c_{2} na equação v_{0}=-2c_{1}+c_{2}. Como c_{1}=y_{0}, obtemos
c_{2}=v_{0}+2\,c_{1} =v_{0}+2\,y_{0}.

Resposta

c_{1}=y_{0}, \qquad c_{2}=v_{0}+2\,y_{0}.

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