Resolva as seguintes equações diferenciais com as condições iniciais dadas: \ddot{y}(t)+8 \dot{y}(t)+15 y(t)=t+5, y(0)=0, \dot{y}(0)=1
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{y}(t) + 8\,\dot{y}(t) + 15\,y(t) = t + 5,
com condições iniciais y(0)=0 e \dot{y}(0)=1.
Para resolver, vamos usar o método de superposição: achar primeiro a solução da equação homogênea e depois uma solução particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
A parte homogênea é
\ddot{y}_h + 8\,\dot{y}_h + 15\,y_h = 0.
Formamos a equação característica
r^2 + 8r + 15 = 0
cuja fatoração dá (r+3)(r+5)=0. Assim, r=-3 ou r=-5, e
y_h(t) = C_1 e^{-3t} + C_2 e^{-5t}.
Passo 3
Para a solução particular y_p(t), como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 1, propomos
y_p(t) = A\,t + B.
Então \dot{y}_p = A e \ddot{y}_p = 0. Substituindo em \ddot{y}+8\dot{y}+15y = t+5, obtemos
0 + 8A + 15\,(A\,t + B) = t + 5 \;\Longrightarrow\; 15A\,t + (8A + 15B) = t + 5.
Igualando coeficientes de t e termos constantes:
15A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{1}{15},