Resolva as seguintes equações diferenciais com as condições iniciais dadas:
\ddot{y}(t)+8 \dot{y}(t)+15 y(t)=t+5, y(0)=0, \dot{y}(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\ddot{y}(t) + 8\,\dot{y}(t) + 15\,y(t) = t + 5,
com condições iniciais y(0)=0 e \dot{y}(0)=1.
Para resolver, vamos usar o método de superposição: achar primeiro a solução da equação homogênea e depois uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

A parte homogênea é
\ddot{y}_h + 8\,\dot{y}_h + 15\,y_h = 0.
Formamos a equação característica
r^2 + 8r + 15 = 0
cuja fatoração dá (r+3)(r+5)=0. Assim, r=-3 ou r=-5, e
y_h(t) = C_1 e^{-3t} + C_2 e^{-5t}.

Passo 3

Para a solução particular y_p(t), como o termo não-homogêneo é um polinômio de grau 1, propomos
y_p(t) = A\,t + B.
Então \dot{y}_p = A e \ddot{y}_p = 0. Substituindo em
\ddot{y}+8\dot{y}+15y = t+5, obtemos
0 + 8A + 15\,(A\,t + B) = t + 5 \;\Longrightarrow\; 15A\,t + (8A + 15B) = t + 5.
Igualando coeficientes de t e termos constantes:
15A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{1}{15},
8A + 15B = 5 \quad\Longrightarrow\quad 15B = 5 - \tfrac{8}{15} = \tfrac{75-8}{15} = \tfrac{67}{15} \;\Longrightarrow\; B = \tfrac{67}{225}.

Passo 4

A solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{-3t} + C_2 e^{-5t} + \frac{1}{15}\,t + \frac{67}{225}.
Calculamos também a derivada
\dot{y}(t) = -3C_1 e^{-3t} -5C_2 e^{-5t} + \frac{1}{15}.

Passo 5

Aplicando y(0)=0 e \dot{y}(0)=1:
y(0)=C_1 + C_2 + \frac{67}{225} = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = -\frac{67}{225},
\dot{y}(0) = -3C_1 -5C_2 + \frac{1}{15} = 1 \quad\Longrightarrow\quad -3C_1 -5C_2 = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}.

Passo 6

Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = -\dfrac{67}{225},\\[6pt] -3C_1 -5C_2 = \dfrac{14}{15}, \end{cases}
podemos multiplicar a primeira equação por 3 e subtrair da segunda:
3C_1 + 3C_2 = -\frac{67}{75}, \quad -3C_1 -5C_2 = \frac{14}{15} \;\Longrightarrow\; 2C_2 = -\frac{1}{25} \;\Longrightarrow\; C_2 = -\frac{1}{50},
e daí
C_1 = -\frac{67}{225} - C_2 = -\frac{67}{225} + \frac{1}{50} = -\frac{5}{18}.]

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, temos
y(t) = -\frac{5}{18}\,e^{-3t} \;-\;\frac{1}{50}\,e^{-5t} \;+\;\frac{1}{15}\,t \;+\;\frac{67}{225}.

Resposta

\boxed{y(t) = -\frac{5}{18}e^{-3t} - \frac{1}{50}e^{-5t} + \frac{1}{15}t + \frac{67}{225}.}

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