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Passo 1
O enunciado pede para calcular a convolução
Informações dadas: a função a ser convoluída é
(produto da exponencial decrescente com a função degrau unitário). Vou assumir que
para garantir que as integrais ocorram sem problemas de divergência. O objetivo é obter uma expressão explícita da convolução em função de
.
Passo 2
Vou usar a definição direta da convolução no eixo do tempo. Para duas funções
e
,
Aqui tomo
e
. Então
Passo 3
Agora determino os limites de integração usando as funções degrau
. A presença de
impõe
. A presença de
impõe
, ou seja
. Juntando:
- Se
não existe que satisfaça e , então a integral é zero. - Se
a integral vale de até .
Logo é uma função causal e podemos escrever a convolução como integral de
a
quando
.
Passo 4
Calculo a integral para
. No integrando temos
porque os expoentes se somam e os termos em
se cancelam. Então, para
,
Como
é constante em relação a
, isso fica
Passo 5
Reunindo os dois casos (causalidade) e escrevendo usando o degrau unitário para compactar a expressão:
valendo sob a hipótese
(ou de maneira formal como função generalizada para qualquer
).