Avalie o resultado de
e^{-a t} u(t) * e^{-a t} u(t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a convolução
e^{-a t} u(t) * e^{-a t} u(t).
Informações dadas: a função a ser convoluída é \,e^{-a t}u(t)\, (produto da exponencial decrescente com a função degrau unitário). Vou assumir que \Re(a)>0 para garantir que as integrais ocorram sem problemas de divergência. O objetivo é obter uma expressão explícita da convolução em função de t.

Passo 2

Vou usar a definição direta da convolução no eixo do tempo. Para duas funções f e g,
(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Aqui tomo f(\tau)=e^{-a \tau}u(\tau) e g(\tau)=e^{-a \tau}u(\tau). Então
(e^{-a t}u(t) * e^{-a t}u(t))(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a \tau}u(\tau)\,e^{-a (t-\tau)}u(t-\tau)\,d\tau.

Passo 3

Agora determino os limites de integração usando as funções degrau u(\cdot). A presença de u(\tau) impõe \tau\ge 0. A presença de u(t-\tau) impõe t-\tau\ge 0, ou seja \tau\le t. Juntando:
  • Se t<0 não existe \tau que satisfaça \tau\ge0 e \tau\le t<0, então a integral é zero.
  • Se t\ge 0 a integral vale de \tau=0 até \tau=t.
Logo é uma função causal e podemos escrever a convolução como integral de 0 a t quando t\ge0.

Passo 4

Calculo a integral para t\ge 0. No integrando temos
e^{-a \tau}e^{-a (t-\tau)}=e^{-a t},
porque os expoentes se somam e os termos em \tau se cancelam. Então, para t\ge0,
\int_{0}^{t} e^{-a \tau}e^{-a (t-\tau)}\,d\tau=\int_{0}^{t} e^{-a t}\,d\tau.
Como e^{-a t} é constante em relação a \tau, isso fica
e^{-a t}\int_{0}^{t} d\tau = e^{-a t}\,[\tau]_{0}^{t}=e^{-a t}\,t.

Passo 5

Reunindo os dois casos (causalidade) e escrevendo usando o degrau unitário para compactar a expressão:
(e^{-a t}u(t) * e^{-a t}u(t))(t)=t\,e^{-a t}\,u(t),
valendo sob a hipótese \Re(a)>0 (ou de maneira formal como função generalizada para qualquer a).

Resposta

t\,e^{-a t}\,u(t)

Exercícios relacionados