Nos exercícios 17 e 18, determine o maior conjunto no qual a função é contínua. f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} \sqrt{y}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.’
Pergunta: determinar o maior conjunto no qual f é contínua. Informações relevantes que extraí do enunciado:
A expressão \sqrt{y} exige que y\ge 0 para f ser real.
A expressão \sqrt{x^{2}+y^{2}} é sempre \ge 0 e é zero somente em (x,y)=(0,0).
O valor em (0,0) está explicitamente definido como 0.
A partir daqui vamos verificar ponto a ponto onde f é contínua.]
Passo 2
Primeiro, escrevemos o domínio onde f está definida: devido a \sqrt{y} devemos ter y\ge 0. Portanto o domínio natural é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\ge 0\}.
Observe que a definição por partes já fornece um valor em (0,0), então (0,0)\in D.
Passo 3
Agora verifico continuidade em pontos do domínio diferentes da origem, isto é em pontos (x,y)\in D com (x,y)\neq(0,0).
Nesses pontos temos \sqrt{x^{2}+y^{2}}>0, então a expressão
é uma composição e produto/quotiente de funções elementares contínuas (polinômios, raiz quadrada e divisão por número não nulo). Pelo teorema da composição e operações com funções contínuas, essa expressão é contínua em todo ponto de D exceto possivelmente na origem. Conclusão: todos os pontos de D com (x,y)\neq(0,0) são pontos de continuidade.
Passo 4
Verifico especificamente a linha y=0 com x\neq 0. Para y=0 e x\neq 0 temos \sqrt{y}=0, então diretamente a fórmula dá
f(x,0)=\frac{x^{2}\cdot 0}{\sqrt{x^{2}+0}}=0.
Como a expressão é contínua nos pontos com y=0 e x\neq 0 (denominador não nulo) e a avaliação fornece 0, a função é contínua nesses pontos também.
Passo 5
Falta checar continuidade em (0,0). Precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0),\;y\ge 0} f(x,y)=0
para que f seja contínua na origem (pois f(0,0)=0). Vou estimar o módulo de f. Como y\ge 0 temos y\le x^{2}+y^{2}, logo
Assim obtemos a desigualdade em toda vizinhança (no domínio) da origem:
\left|f(x,y)\right|\le x^{2}.
Passo 6
Agora uso o teorema do confronto (squeeze): quando (x,y)\to(0,0) temos x^{2}\to 0. Como \left|f(x,y)\right|\le x^{2} para todos os pontos do domínio próximos da origem, segue que \left|f(x,y)\right|\to 0, logo f(x,y)\to 0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0),\;y\ge 0} f(x,y)=0=f(0,0),
ou seja, f é contínua em (0,0).
Passo 7
Juntando tudo: f é contínua em todos os pontos do domínio D=\{(x,y)\mid y\ge 0\}. Não há pontos adicionais fora de D onde f esteja definida como número real, então o maior conjunto de continuidade é exatamente D.