Calcule:
\sin t u(t) * u(t) \quad \mathrm{e} \quad \cos t u(t) * u(t)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular as convoluções \sin t\,u(t) * u(t)\) e \(\cos t\,u(t) * u(t)\).\n Informações dadas e relevantes: \(u(t)\) é a função degrau unitário, isto é \[u(t)=\begin{cases}1, & t\ge 0,\\\\ 0, & t<0,\end{cases}
e as funções \sin t\,u(t)\] e \(\cos t\,u(t) são sinais causais (valem zero para t<0).\n
Objetivo claro: encontrar explicitamente as duas convoluções para todo t (ou em forma multiplicada por u(t), que é a forma prática para sinais causais).

Passo 2

Definição de convolução (aqui eu já ensino o conceito): para duas funções f e g a convolução é
(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Na nossa situação tomamos f(\tau)=\sin\tau\,u(\tau) (ou f(\tau)=\cos\tau\,u(\tau)) e g(t-\tau)=u(t-\tau). Vou explicar a restrição de integração: o produto u(\tau)\,u(t-\tau) só é não nulo quando simultaneamente \tau\ge 0 e t-\tau\ge 0. Essas duas desigualdades implicam
0\le \tau \le t.
Se t<0 não existe \tau que satisfaça ambas, logo a convolução é zero para t<0. Conclusão importante (útil em prova): para sinais causais a integral reduz-se a integrar de \tau=0 até \tau=t quando t\ge 0.

Passo 3

Calcule (\sin t\,u(t)) * u(t). Usando o passo anterior, para t\ge 0
(\sin t\,u(t))*u(t)=\int_{0}^{t}\sin\tau\,d\tau.
Agora avalio a integral básica passo a passo: a primitiva de \sin\tau é -\cos\tau. Portanto
\int_{0}^{t}\sin\tau\,d\tau = \bigl[-\cos\tau\bigr]_{0}^{t} = -\cos t -(-\cos 0)= -\cos t + \cos 0.
Como \cos 0 = 1, obtemos para t\ge 0
(\sin t\,u(t))*u(t) = 1 - \cos t.
Lembre que para t<0 a convolução vale 0. Logo, escrevendo de forma compacta com o degrau,
(\sin t\,u(t))*u(t) = \bigl(1-\cos t\bigr)\,u(t).

Passo 4

Calcule (\cos t\,u(t)) * u(t). Novamente, para t\ge 0,
(\cos t\,u(t))*u(t)=\int_{0}^{t}\cos\tau\,d\tau.
A primitiva de \cos\tau é \sin\tau. Então
\int_{0}^{t}\cos\tau\,d\tau = \bigl[\sin\tau\bigr]_{0}^{t} = \sin t - \sin 0.
Como \sin 0 = 0, isso dá para t\ge 0
(\cos t\,u(t))*u(t) = \sin t.
E para t<0 vale 0. Escrevendo com o degrau:
(\cos t\,u(t))*u(t) = \sin t \, u(t).

Passo 5

(Comentário rápido de checagem — útil em prova) Se quiser confirmar por outro método, use transformada de Laplace: \mathcal{L}\{u(t)\}=1/s, \mathcal{L}\{\sin t\,u(t)\}=1/(s^{2}+1), \mathcal{L}\{\cos t\,u(t)\}=s/(s^{2}+1). Produto no domínio de Laplace e inversa retornam exatamente (1-\cos t)u(t) e \sin t\,u(t), respectivamente. Isso reforça que as integrais feitas nos passos anteriores estão corretas.

Resposta

(\sin t\,u(t))*u(t)=\bigl(1-\cos t\bigr)\,u(t)\n
(\cos t\,u(t))*u(t)=\sin t\,u(t)

Exercícios relacionados