Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular as convoluções
e as funções
são sinais causais (valem zero para
).\n
Objetivo claro: encontrar explicitamente as duas convoluções para todo
(ou em forma multiplicada por
, que é a forma prática para sinais causais).
Passo 2
Definição de convolução (aqui eu já ensino o conceito): para duas funções
e
a convolução é
Na nossa situação tomamos
(ou
) e
. Vou explicar a restrição de integração: o produto
só é não nulo quando simultaneamente
e
. Essas duas desigualdades implicam
Se
não existe
que satisfaça ambas, logo a convolução é zero para
. Conclusão importante (útil em prova): para sinais causais a integral reduz-se a integrar de
até
quando
.
Passo 3
Calcule
. Usando o passo anterior, para
Agora avalio a integral básica passo a passo: a primitiva de
é
. Portanto
Como
, obtemos para
Lembre que para
a convolução vale
. Logo, escrevendo de forma compacta com o degrau,
Passo 4
Calcule
. Novamente, para
,
A primitiva de
é
. Então
Como
, isso dá para
E para
vale
. Escrevendo com o degrau:
Passo 5
(Comentário rápido de checagem — útil em prova) Se quiser confirmar por outro método, use transformada de Laplace:
,
,
. Produto no domínio de Laplace e inversa retornam exatamente
e
, respectivamente. Isso reforça que as integrais feitas nos passos anteriores estão corretas.