Obtenha o resultado de
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a convolução
, onde
é a função degrau unitário.
Informações dadas e convenções que vou usar: a função degrau unitário vale
Informações dadas e convenções que vou usar: a função degrau unitário
Não há outras informações no enunciado; a tarefa é obter explicitamente a função resultante da convolução.]
Passo 2
Definição de convolução (a fórmula que vamos aplicar) e o que cada símbolo significa: para duas funções
e
,
Aqui
é a variável onde avaliamos a convolução;
é a variável de integração que “varre” todo o eixo real. A ideia física/geométrica: a convolução mede a sobreposição entre
e
enquanto deslizamos uma sobre a outra.
Passo 3
Substituo
e
na fórmula:
Agora preciso analisar para quais valores de
o integrando
é não nulo (igual a 1) e para quais é zero, usando a definição de
.
Passo 4
Análise dos suportes (onde cada fator vale 1):
-
somente quando . -
somente quando , isto é, .
Portanto o produto
é igual a
exatamente quando
ou seja, quando
. Se não existe intervalo de
que satisfaça isso (por exemplo quando
), o integrando é zero para todo
.
Passo 5
Calculo a integral separando os casos em
:
Caso 1:
.
Então o intervalo é vazio (porque
), logo o integrando é sempre zero e
Então o intervalo
Caso 2:
.
Então o integrando vale exatamente para
entre
e
. Assim
Então o integrando vale
Observação: para
a integral é
, consistente com a fórmula acima.
Passo 6
Intuição final e identificação da função resultante: a convolução do degrau com ele mesmo produz uma rampa a partir de zero — isto é, uma função que cresce linearmente com inclinação
para
e é zero antes. Essa função costuma ser escrita como
.