Obtenha o resultado de
u(t) * u(t)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a convolução (u * u)(t), onde u(t) é a função degrau unitário.
Informações dadas e convenções que vou usar: a função degrau unitário u(t) vale
u(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] 1, & t\ge 0. \end{cases}
Não há outras informações no enunciado; a tarefa é obter explicitamente a função resultante da convolução.]

Passo 2

Definição de convolução (a fórmula que vamos aplicar) e o que cada símbolo significa: para duas funções f e g,
(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Aqui t é a variável onde avaliamos a convolução; \tau é a variável de integração que “varre” todo o eixo real. A ideia física/geométrica: a convolução mede a sobreposição entre f(\tau) e g(t-\tau) enquanto deslizamos uma sobre a outra.

Passo 3

Substituo f=u e g=u na fórmula:
(u*u)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} u(\tau)\,u(t-\tau)\,d\tau.
Agora preciso analisar para quais valores de \tau o integrando u(\tau)\,u(t-\tau) é não nulo (igual a 1) e para quais é zero, usando a definição de u.

Passo 4

Análise dos suportes (onde cada fator vale 1):
  • u(\tau)=1 somente quando \tau\ge 0.
  • u(t-\tau)=1 somente quando t-\tau\ge 0, isto é, \tau\le t.
Portanto o produto u(\tau)\,u(t-\tau) é igual a 1 exatamente quando
\tau\ge 0 \quad\text{e}\quad \tau\le t,
ou seja, quando 0\le \tau\le t. Se não existe intervalo de \tau que satisfaça isso (por exemplo quando t<0), o integrando é zero para todo \tau.

Passo 5

Calculo a integral separando os casos em t:
Caso 1: t<0.
Então o intervalo 0\le\tau\le t é vazio (porque t<0), logo o integrando é sempre zero e
(u*u)(t)=0\quad\text{para }t<0.
Caso 2: t\ge 0.
Então o integrando vale 1 exatamente para \tau entre 0 e t. Assim
(u*u)(t)=\int_{0}^{t} 1\,d\tau = \big[\tau\big]_{0}^{t}=t-0=t\quad\text{para }t\ge 0.
Observação: para t=0 a integral é \int_{0}^{0}1\,d\tau=0, consistente com a fórmula acima.

Passo 6

Intuição final e identificação da função resultante: a convolução do degrau com ele mesmo produz uma rampa a partir de zero — isto é, uma função que cresce linearmente com inclinação 1 para t\ge 0 e é zero antes. Essa função costuma ser escrita como t\,u(t).

Resposta

(u*u)(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] t, & t\ge 0, \end{cases}]

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