Avalie se são coplanares os seguintes vetores:
u=(1,-1,3), v=(1,-1,3) e w=(1,9,-11)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u=(1,-1,3), v=(1,-1,3) e w=(1,9,-11).
Para checar se eles são coplanares, usamos que três vetores em R^3 são coplanares se, e somente se, o produto misto (ou determinante formado por eles) for zero.

Passo 2

O produto misto pode ser escrito como determinante das componentes dispostas em linhas. Assim, calculamos
det 1 & -1 & 3 1 & -1 & 3 1 & 9 & -11
Aqui basta notar que a primeira linha e a segunda linha são idênticas, logo o determinante vale zero.

Passo 3

Como o produto misto é zero, os três vetores são linearmente dependentes. Da dependência linear segue que eles estão no mesmo plano, ou seja, são coplanares.

Resposta

Sim, os vetores u, v e w são coplanares.

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