Avalie as seguintes integrais.
integral(8 x-12)(4 x^2-12 x)^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(8x - 12)(4x^2 - 12x)^4 , dx. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente em Integração por Substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma função dentro da integral que, quando derivada, aparece de forma multiplicativa. Observando (4x^2 - 12x), vamos chamar isso de u. Então, temos:
u = 4x^2 - 12x

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para ver se ela está presente na integral. Derivando u:
dudx = 8x - 12
Isso é exatamente o que está multiplicando (4x^2 - 12x)^4 na integral! Isso significa que podemos substituir toda a expressão.

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de u. Sabemos que du = (8x - 12) , dx, então:
integral(8x - 12)(4x^2 - 12x)^4 , dx = integral u^4 , du

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples! Vamos integrar u^4 em relação a u:
integral u^4 , du = u^55 + C
Aqui, C é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a integral avaliada é:
(4x^2 - 12x)^55 + C

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