Determine f(x) sabendo que h^prime prime(t)=24 t^2-48 t+2, h(1)=-9 e h(-2)=-4.

Passo 1

O enunciado dá a segunda derivada h''(t)=24t^2-48t+2 e pede a função original h(t) (ou seja, a antiderivada de ordem 2) sabendo ainda que h(1)=-9 e h(-2)=-4. O conteúdo necessário é integração sucessiva para obter h'(t) e depois h(t), introduzindo constantes de integração, e usar as condições dadas para determinar essas constantes.

Passo 2

Integramos h''(t) para obter h'(t). Como
h''(t)=24t^2-48t+2,
temos
h'(t)=integrall(24t^2-48t+2r),dt =8t^3-24t^2+2t+C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 3

Agora integramos h'(t) para obter h(t). Assim,
h(t)=integrall(8t^3-24t^2+2t+C1r),dt =2t^4-8t^3+t^2+C1t+C2,
com C2 a segunda constante de integração.

Passo 4

Usamos as condições h(1)=-9 e h(-2)=-4 para montar um sistema em C1,C2:
Para t=1:
h(1)=2cdot1^4-8cdot1^3+1^2+C1cdot1+C2=-9 Longrightarrow 2-8+1+C1+C2=-9 Longrightarrow C1+C2=-4
Para t=-2:
h(-2)=2cdot(-2)^4-8cdot(-2)^3+(-2)^2+C1(-2)+C2=-4
Longrightarrow; 2cdot16 -8cdot(-8)+4 -2C1 +C2=-4 ;Longrightarrow; 32+64+4 -2C1 +C2=-4 ;Longrightarrow; -2C1 +C2=-104

Passo 5

Resolvendo o sistema
C1+C2=-4, -2C1+C2=-104,
subtraímos a primeira equação da segunda:
(-2C1+C2)-(C1+C2)=-104-(-4) ;Longrightarrow; -3C1=-100 ;Longrightarrow; C1=1003
Então
C2=-4-C1=-4-1003=-1123

Passo 6

Substituímos C1 e C2 em h(t):
h(t)=2t^4-8t^3+t^2+1003,t-1123

Resposta

f(x)=2x^4-8x^3+x^2+1003,x-1123

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