Avalie as seguintes integrais.
integral(cos (3 t)-t^2)(sin (3 t)-t^3)^5 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integrall(cos(3t)-t^2r)l(sin(3t)-t^3r)^5,dt
Aqui o conteúdo é reconhecimento de uma função composta e uso de substituição (u-substitution), pois vemos sin(3t)-t^3 elevado a uma potência e seu aparente “quase” derivado multiplicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = sin(3t) - t^3
Calculamos du:
dudt = 3cos(3t) - 3t^2 = 3l(cos(3t)-t^2r),
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du = 3l(cos(3t)-t^2r),dt Longrightarrow l(cos(3t)-t^2r),dt = 13,du

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integrall(cos(3t)-t^2r)l(sin(3t)-t^3r)^5,dt = integral u^5cdot13,du = 13integral u^5,du

Passo 4

Integramos em u:
13integral u^5,du = 13cdotu^66 + C = u^618 + C

Passo 5

Voltando à variável t, substituímos u = sin(3t)-t^3 para obter a resposta final.

Resposta

l(sin(3t)-t^3r)^618 + C

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