Avalie as seguintes integrais.
integral 5(z-4) raiz[3]z^2-8 z d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 5,(z-4),raiz[3]z^2-8z,dz
O conteúdo principal aqui é integração por substituição (u-substitution), pois vemos que a derivada de z^2-8z é proporcional a (z-4), que aparece multiplicando a raiz cúbica.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = z^2 - 8z
Então
du = (2z - 8),dz = 2,(z-4),dz Longrightarrow (z-4),dz = du2

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral 5,(z-4),raiz[3]z^2-8z,dz = 5 integral raiz[3]u,du2 = 52 integral u^1/3,du
Agora integramos u^1/3:
integral u^1/3,du = u^4/34/3 = 34,u^4/3
Logo
52 integral u^1/3,du = 52 cdot 34,u^4/3 = 158,u^4/3

Passo 4

Volta à variável z usando u = z^2-8z. Assim a primitiva fica
158,(z^2-8z)^4/3 + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

boxed158,(z^2-8z)^4/3 + C

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