Avalie as seguintes integrais.
integral 10 sin (2 x) cos (2 x) raizcos ^2(2 x)+5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 10 sin(2x),cos(2x),raizcos^2(2x)+5,dx
Este é um problema de integração onde o produto sin(2x)cos(2x) e a função composta raizcos^2(2x)+5 sugerem usar substituição de variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = cos^2(2x) + 5
O objetivo é expressar toda a integral em termos de u e du.

Passo 3

Calculamos du. Como
ddxl(cos^2(2x)r) = 2cos(2x),l(-sin(2x)cdot 2r) = -4sin(2x)cos(2x),
temos
du = -4sin(2x)cos(2x),dx Longrightarrow sin(2x)cos(2x),dx = -14,du
Substituindo na integral original:
integral 10,sin(2x)cos(2x),raizcos^2(2x)+5,dx = integral 10 raizu,l(-tfrac14dur) = -104integral u^tfrac12,du = -52integral u^tfrac12,du

Passo 4

Agora integramos em u:
-52integral u^tfrac12,du = -52cdotu^tfrac32tfrac32 = -52cdot23,u^tfrac32 = -53,u^tfrac32

Passo 5

Voltando à variável x, lembrando que u = cos^2(2x)+5, obtemos
-53l(cos^2(2x)+5r)^tfrac32 + C

Resposta

-53l(cos^2(2x)+5r)^tfrac32 + C

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