Avalie as seguintes integrais.
integral 3 x1+9 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular integral 3x1 + 9x^2 , dx. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente, integração por substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador 1 + 9x^2. Se a gente fizer uma substituição, pode simplificar a integral. Vamos deixar u = 1 + 9x^2. Agora, precisamos achar a derivada de u em relação a x, ou seja, du/dx.

Passo 3

Calculando a derivada: du/dx = 18x. Isso significa que du = 18x , dx. Mas a gente tem 3x , dx na integral original. Vamos reorganizar isso para se adequar à nossa substituição.

Passo 4

Para igualar com du, dividimos ambos os lados por 6: du6 = 3x , dx. Agora, podemos substituir 3x , dx por du6 na nossa integral.

Passo 5

Substituindo na integral: integral 3x1 + 9x^2 , dx = integral 1u cdot du6 = 16 integral 1u , du.

Passo 6

A integral de 1u , du é ln|u| + C, onde C é a constante de integração. Então, temos: 16 ln|u| + C.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo u = 1 + 9x^2: 16 ln|1 + 9x^2| + C.

Resposta

A integral de 3x1 + 9x^2 , dx é 16 ln|1 + 9x^2| + C.

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