Avalie as seguintes integrais.
integral 3 x(1+9 x^2)^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 3x(1+9x^2)^4,dx
Isso é um exercício de integração onde reconhecemos que a derivada de 1+9x^2 é proporcional a x, então a técnica adequada é substituição.

Passo 2

Fazemos a troca
u = 1 + 9x^2, du = 18x,dx Longrightarrow 3x,dx = 16,du
Substituindo em integral 3x(1+9x^2)^4,dx temos
integral 3x(1+9x^2)^4,dx = integral 16,u^-4,du

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência para integrar em u:
integral u^-4,du = u^-3-3,
portanto
integral 16,u^-4,du = 16,cdotu^-3-3 + C = -118,u^-3 + C

Passo 4

Voltando à variável original x, temos u=1+9x^2 e u^-3=(1+9x^2)^-3. Logo
integral 3x(1+9x^2)^4,dx = -118,(1+9x^2)^-3 + C

Resposta

-118,(1+9x^2)^3 + C

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