Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral de
. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar partes da expressão que se encaixam na fórmula de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos separar o que está dentro da integral para facilitar. Temos:
Podemos fatorar o 4 para deixar a integral mais simples:
Agora, vamos focar em resolver
.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
Aqui, precisamos escolher o que será
e o que será
. Uma boa regra é escolher
como a parte que simplifica ao derivar e
como o restante.
Vamos definir:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
. Vamos calcular a integral de
:
Para integrar isso, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Substituindo na integral:
Voltando a
:
Passo 5
Agora que temos
,
,
e
, podemos aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral
. Fazemos novamente uma substituição:
Seja
, então
ou
.
Voltando a
:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Simplificando:
Passo 7
Lembrando que tínhamos fatorado o 4 no início, multiplicamos tudo por 4:
Distribuindo o 4:
Resposta
A integral de
é: