Calcule as seguintes integrais:
integral 4 x cos (2-3 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral de 4x cos(2 - 3x) , dx . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar partes da expressão que se encaixam na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o que está dentro da integral para facilitar. Temos:
integral 4x cos(2 - 3x) , dx
Podemos fatorar o 4 para deixar a integral mais simples:
4 integral x cos(2 - 3x) , dx
Agora, vamos focar em resolver integral x cos(2 - 3x) , dx.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher o que será u e o que será dv . Uma boa regra é escolher u como a parte que simplifica ao derivar e dv como o restante.
Vamos definir:
u = x Rightarrow du = dx
dv = cos(2 - 3x) , dx Rightarrow v = integral cos(2 - 3x) , dx

Passo 4

Agora, precisamos encontrar v . Vamos calcular a integral de cos(2 - 3x) , dx :
v = integral cos(2 - 3x) , dx
Para integrar isso, fazemos uma substituição simples. Seja t = 2 - 3x , então dt = -3 dx ou dx = -13 dt . Substituindo na integral:
v = integral cos(t) (-13) dt = -13 integral cos(t) , dt = -13 sin(t) + C
Voltando a x :
v = -13 sin(2 - 3x)

Passo 5

Agora que temos u , du , v e dv , podemos aplicar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo:
integral x cos(2 - 3x) , dx = x (-13 sin(2 - 3x)) - integral (-13 sin(2 - 3x)) dx
Simplificando:
= -x3 sin(2 - 3x) + 13 integral sin(2 - 3x) , dx

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral integral sin(2 - 3x) , dx . Fazemos novamente uma substituição:
Seja t = 2 - 3x , então dt = -3 dx ou dx = -13 dt .
integral sin(t) (-13) dt = -13 integral sin(t) , dt = -13 (-cos(t)) + C = 13 cos(t) + C
Voltando a x :
integral sin(2 - 3x) , dx = 13 cos(2 - 3x) + C
Substituindo de volta na expressão anterior:
-x3 sin(2 - 3x) + 13 ( 13 cos(2 - 3x) ) + C
Simplificando:
-x3 sin(2 - 3x) + 19 cos(2 - 3x) + C

Passo 7

Lembrando que tínhamos fatorado o 4 no início, multiplicamos tudo por 4:
4 ( -x3 sin(2 - 3x) + 19 cos(2 - 3x) ) + C
Distribuindo o 4:
-4x3 sin(2 - 3x) + 49 cos(2 - 3x) + C

Resposta

A integral de 4x cos(2 - 3x) , dx é:
-4x3 sin(2 - 3x) + 49 cos(2 - 3x) + C

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