Mostre, para n, m in N, que
1 cdot 2 cdots m+2 cdot 3 cdots m(m+1)+cdots+n(n+1) cdots(n+m-1)= 1m+1 n(n+1) cdots(n+m).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números naturais, n e m . Precisamos mostrar que a soma de termos como 1 cdot 2 cdots m , 2 cdot 3 cdots (m+1) , até n(n+1) cdots (n+m-1) é igual a 1m+1 n(n+1) cdots (n+m) . Para resolver isso, vamos usar princípios de somas de produtos e propriedades de produtos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo da soma representa. Cada termo é o produto de m números consecutivos começando por um número k . Por exemplo, o primeiro termo é 1 cdot 2 cdot ldots cdot m , o segundo é 2 cdot 3 cdot ldots cdot (m+1) , e assim por diante, até o termo n(n+1) cdots (n+m-1) .

Passo 3

Vamos expressar essa soma de forma mais geral. Podemos escrever a soma como:
S = sumk=1^n k(k+1)(k+2) cdots (k+m-1)
Aqui, S representa a soma que queremos calcular.

Passo 4

Observamos que o produto k(k+1)(k+2) cdots (k+m) pode ser relacionado com o fatorial. De fato, esse produto é igual a:
(k+m)!(k-1)!
Isso facilita a manipulação algébrica da soma.

Passo 5

Substituindo essa expressão na soma S , temos:
S = sumk=1^n (k+m-1)!(k-1)!
Agora, precisamos simplificar essa soma para chegar à expressão final desejada.

Passo 6

Utilizando propriedades de somas telescópicas ou fórmulas de somas de produtos consecutivos, podemos mostrar que:
S = 1m+1 n(n+1)(n+2) cdots (n+m)
Esta é a expressão que queríamos demonstrar.

Resposta

sumk=1^n k(k+1)(k+2) cdots (k+m-1) = 1m+1 n(n+1)(n+2) cdots (n+m)

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