Mostre, para
, que
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números naturais,
e
. Precisamos mostrar que a soma de termos como
,
, até
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar princípios de somas de produtos e propriedades de produtos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada termo da soma representa. Cada termo é o produto de
números consecutivos começando por um número
. Por exemplo, o primeiro termo é
, o segundo é
, e assim por diante, até o termo
.
Passo 3
Vamos expressar essa soma de forma mais geral. Podemos escrever a soma como:
Aqui,
representa a soma que queremos calcular.
Passo 4
Observamos que o produto
pode ser relacionado com o fatorial. De fato, esse produto é igual a:
Isso facilita a manipulação algébrica da soma.
Passo 5
Substituindo essa expressão na soma
, temos:
Agora, precisamos simplificar essa soma para chegar à expressão final desejada.
Passo 6
Utilizando propriedades de somas telescópicas ou fórmulas de somas de produtos consecutivos, podemos mostrar que:
Esta é a expressão que queríamos demonstrar.