Avalie as seguintes integrais definidas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de
no intervalo de 0 a 2. Isso está relacionado com o cálculo de integrais, especificamente com a simplificação de expressões algébricas para facilitar a integração. Para resolver isso, vamos precisar dividir o polinômio no numerador pelo denominador e depois integrar o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Para isso, vamos fazer a divisão polinomial de
por
. Esse processo nos ajudará a reescrever a expressão de uma forma mais fácil de integrar.
Passo 3
Vamos realizar a divisão polinomial:
Sabemos que
pode ser fatorado como uma soma de cubos:
Então, a fração fica:
Passo 4
Agora que simplificamos a fração para
, podemos integrar essa expressão no intervalo de 0 a 2. Vamos lembrar que a integral de um polinômio é a soma das integrais de cada termo.
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor da antiderivada nos limites de integração, primeiro em
e depois em
, e depois subtrair:
Para
:
Para
:
Resposta
A integral definida é igual a
.