Avalie as seguintes integrais definidas
integral0^2 x^3+8x+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de x^3 + 8x + 2 no intervalo de 0 a 2. Isso está relacionado com o cálculo de integrais, especificamente com a simplificação de expressões algébricas para facilitar a integração. Para resolver isso, vamos precisar dividir o polinômio no numerador pelo denominador e depois integrar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração x^3 + 8x + 2 . Para isso, vamos fazer a divisão polinomial de x^3 + 8 por x + 2 . Esse processo nos ajudará a reescrever a expressão de uma forma mais fácil de integrar.

Passo 3

Vamos realizar a divisão polinomial:
x^3 + 8x + 2
Sabemos que x^3 + 8 pode ser fatorado como uma soma de cubos:
x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)
Então, a fração fica:
(x + 2)(x^2 - 2x + 4)x + 2 = x^2 - 2x + 4

Passo 4

Agora que simplificamos a fração para x^2 - 2x + 4 , podemos integrar essa expressão no intervalo de 0 a 2. Vamos lembrar que a integral de um polinômio é a soma das integrais de cada termo.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral x^2 , dx = x^33
  2. integral -2x , dx = -x^2
  3. integral 4 , dx = 4x
Então, a integral completa fica:
integral0^2 (x^2 - 2x + 4) , dx = [ x^33 - x^2 + 4x ]0^2

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor da antiderivada nos limites de integração, primeiro em x = 2 e depois em x = 0 , e depois subtrair:
Para x = 2 :
2^33 - 2^2 + 4 times 2 = 83 - 4 + 8 = 83 + 4 = 83 + 123 = 203
Para x = 0 :
0^33 - 0^2 + 4 times 0 = 0 - 0 + 0 = 0

Resposta

A integral definida é igual a 203 .

Exercícios relacionados