Avalie as seguintes integrais definidas
integral-2^2|2 x^2-2| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral-2^2|2x^2-2| dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas envolvendo o valor absoluto de uma função quadrática. Para resolver isso, vamos precisar entender quando a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa, para assim poder remover o valor absoluto e calcular a integral em partes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do valor absoluto: 2x^2 - 2. Queremos saber para quais valores de x essa expressão é positiva ou negativa. Vamos resolver a equação 2x^2 - 2 = 0:
2x^2 - 2 = 0 2x^2 = 2 x^2 = 1 x = pm1
Isso significa que a expressão 2x^2 - 2 é zero nos pontos x = -1 e x = 1. Vamos usar esses pontos para dividir o intervalo de integração em partes onde a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa.

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em três partes com base nos pontos onde a expressão muda de sinal:
integral-2^2 |2x^2 - 2| dx = integral-2^-1 |2x^2 - 2| dx + integral-1^1 |2x^2 - 2| dx + integral1^2 |2x^2 - 2| dx
Vamos analisar cada intervalo:
  1. Para x in [-2, -1] e x in [1, 2], 2x^2 - 2 >= 0, então |2x^2 - 2| = 2x^2 - 2.
  2. Para x in [-1, 1], 2x^2 - 2 <= 0, então |2x^2 - 2| = -(2x^2 - 2) = 2 - 2x^2.

Passo 4

Substituindo as expressões na integral, temos:
integral-2^2 |2x^2 - 2| dx = integral-2^-1 (2x^2 - 2) dx + integral-1^1 (2 - 2x^2) dx + integral1^2 (2x^2 - 2) dx
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular integral-2^-1 (2x^2 - 2) dx:
integral (2x^2 - 2) dx = 23x^3 - 2x + C
Calculando entre -2 e -1:
[23(-1)^3 - 2(-1)] - [23(-2)^3 - 2(-2)] = [-23 + 2] - [-163 + 4] = [43] - [-43] = 83

Passo 6

Agora, vamos calcular integral-1^1 (2 - 2x^2) dx:
integral (2 - 2x^2) dx = 2x - 23x^3 + C
Calculando entre -1 e 1:
[2(1) - 23(1)^3] - [2(-1) - 23(-1)^3] = [2 - 23] - [-2 + 23] = [43] - [-43] = 83

Passo 7

Por fim, vamos calcular integral1^2 (2x^2 - 2) dx:
integral (2x^2 - 2) dx = 23x^3 - 2x + C
Calculando entre 1 e 2:
[23(2)^3 - 2(2)] - [23(1)^3 - 2(1)] = [163 - 4] - [23 - 2] = [43] - [-43] = 83

Resposta

Somando todas as partes:
83 + 83 + 83 = 243 = 8
Portanto, o valor da integral integral-2^2|2x^2-2| dx é 8.

Exercícios relacionados