Avalie as seguintes integrais definidas
integral1^0 s^2(raizs-raiz[3]s) d s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que avaliar a integral definida integral1^0 s^2(raizs-raiz[3]s) , ds. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais definidas e funções polinomiais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de integração, especialmente a regra da potência, que envolve integrar funções do tipo s^n.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos s^2(raizs - raiz[3]s). Vamos reescrever as raízes como potências fracionárias:
raizs = s^1/2 e raiz[3]s = s^1/3
Então, a expressão fica:
s^2(s^1/2 - s^1/3) = s^2 + 1/2 - s^2 + 1/3 = s^5/2 - s^7/3

Passo 3

Agora, a integral fica mais fácil de manejar:
integral1^0 s^5/2 - s^7/3 , ds
Podemos separar essa integral em duas partes:
integral1^0 s^5/2 , ds - integral1^0 s^7/3 , ds

Passo 4

Antes de integrar, vamos lembrar que a integral definida de 1 para 0 é o negativo da integral de 0 para 1. Ou seja:
integral1^0 f(s) , ds = -integral0^1 f(s) , ds
Então, aplicando isso:
-( integral0^1 s^5/2 , ds - integral0^1 s^7/3 , ds )

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo usando a regra da potência. A integral de s^n em relação a s é:
integral s^n , ds = s^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
integral0^1 s^5/2 , ds = [ s^7/27/2 ]0^1 = 27 (1^7/2 - 0^7/2) = 27
E,
integral0^1 s^7/3 , ds = [ s^10/310/3 ]0^1 = 310 (1^10/3 - 0^10/3) = 310

Passo 6

Substituindo esses resultados na expressão anterior:
-( 27 - 310 ) = -( 2070 - 2170 ) = -( -170 ) = 170

Resposta

A integral integral1^0 s^2(raizs-raiz[3]s) , ds é igual a 170.

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