Avalie as seguintes integrais definidas
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que avaliar a integral definida
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais definidas e funções polinomiais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de integração, especialmente a regra da potência, que envolve integrar funções do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos
. Vamos reescrever as raízes como potências fracionárias:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, a integral fica mais fácil de manejar:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 4
Antes de integrar, vamos lembrar que a integral definida de 1 para 0 é o negativo da integral de 0 para 1. Ou seja:
Então, aplicando isso:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo usando a regra da potência. A integral de
em relação a
é:
Aplicando isso:
E,
Passo 6
Substituindo esses resultados na expressão anterior:
Resposta
A integral
é igual a
.