Avalie as seguintes integrais definidas
integral0^3 raiz[3]27 x^4 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a integral definida integral0^3 raiz[3]27 x^4 , dx. Esse exercício é de cálculo integral, especificamente envolvendo raízes e potências. Vamos precisar saber como simplificar expressões com raízes e aplicar a regra de integração para potências de x.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica. A gente tem raiz[3]27 x^4. Sabemos que raiz[3]a cdot b = raiz[3]a cdot raiz[3]b, então podemos separar os fatores:
raiz[3]27 x^4 = raiz[3]27 cdot raiz[3]x^4

Passo 3

Agora, vamos calcular cada raiz separadamente. A raiz cúbica de 27 é fácil:
raiz[3]27 = 3
E para raiz[3]x^4, usamos a propriedade das potências:
raiz[3]x^4 = x^43
Então, juntando tudo:
raiz[3]27 x^4 = 3 cdot x^43 = 3x^43

Passo 4

Agora que simplificamos a expressão, a integral fica:
integral0^3 3x^43 , dx
A gente pode fatorar o 3 para facilitar:
3 integral0^3 x^43 , dx

Passo 5

Vamos integrar x^43. A regra de integração para potências de x é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Onde n neq -1. No nosso caso, n = 43, então:
integral x^43 , dx = x^43 + 143 + 1 = x^7373 = 37 x^73

Passo 6

Voltando à nossa integral original, temos:
3 cdot 37 x^73 = 97 x^73

Passo 7

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 3:
97 x^73 |0^3 = 97 (3^73 - 0^73)
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, mas no caso de 0^73, o resultado é 0. Então:
97 cdot 3^73

Passo 8

Vamos simplificar 3^73. Podemos reescrever como:
3^73 = 3^2 + 13 = 3^2 cdot 3^13 = 9 cdot raiz[3]3

Passo 9

Substituindo de volta na expressão:
97 cdot 9 cdot raiz[3]3 = 817 raiz[3]3

Resposta

Portanto, o valor da integral é dfrac817 raiz[3]3.

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