Beleza, vamos lá! A gente tem a integral definida . Esse exercício é de cálculo integral, especificamente envolvendo raízes e potências. Vamos precisar saber como simplificar expressões com raízes e aplicar a regra de integração para potências de .
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica. A gente tem . Sabemos que , então podemos separar os fatores:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada raiz separadamente. A raiz cúbica de 27 é fácil:
E para , usamos a propriedade das potências:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora que simplificamos a expressão, a integral fica:
A gente pode fatorar o 3 para facilitar:
Passo 5
Vamos integrar . A regra de integração para potências de é:
Onde . No nosso caso, , então:
Passo 6
Voltando à nossa integral original, temos:
Passo 7
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 3:
Sabemos que qualquer número elevado a 0 é 1, mas no caso de 0^73, o resultado é 0. Então:
97 cdot 3^73
Passo 8
Vamos simplificar 3^73. Podemos reescrever como:
3^73 = 3^2 + 13 = 3^2 cdot 3^13 = 9 cdot raiz[3]3
Passo 9
Substituindo de volta na expressão:
97 cdot 9 cdot raiz[3]3 = 817 raiz[3]3
Resposta
Portanto, o valor da integral é dfrac817 raiz[3]3.