Avalie as seguintes integrais:
(a) integral x^4-10 x^2+3 x+1x^2-4 d x;
(b) integral x^3x^2+1 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais de funções racionais:
(a) integral x^4-10 x^2+3 x+1x^2-4,dx
(b) integral x^3x^2+1,dx
Os conteúdos que vamos usar são
  • divisão polinomial para separar parte inteira e resto em (a),
  • decomposição em frações parciais para integrar o resto em (a),
  • manipulação algébrica e substituição simples em (b).

Passo 2

Para (a), primeiro fazemos a divisão do polinômio x^4-10x^2+3x+1 por x^2-4.
Dividindo termo a termo:
x^4div x^2=x^2, x^2(x^2-4)=x^4-4x^2,
subtraindo obtemos -6x^2+3x+1.
-6x^2div x^2=-6, -6(x^2-4)=-6x^2+24,
subtraindo obtemos resto 3x+1-24=3x-23.
Logo
x^4-10x^2+3x+1x^2-4 = x^2-6 + 3x-23x^2-4

Passo 3

Agora decompomos
3x-23x^2-4 = Ax-2 + Bx+2
Igualando numeradores:
3x-23 = A(x+2) + B(x-2) = (A+B)x + (2A-2B)
Isso gera o sistema
A+B=3, 2A-2B=-23
Da segunda equação A-B=-tfrac232. Somando com A+B=3
2A = 3 - tfrac232 = -tfrac172, A = -tfrac174, B = 3 - A = tfrac294

Passo 4

Substituindo em (a) e integrando termo a termo:
integral x^4-10x^2+3x+1x^2-4,dx = integral l(x^2-6r),dx + integral l(-17/4x-2 + 29/4x+2r),dx
Integramos:
integral (x^2-6),dx = x^33 - 6x,
integral -17/4x-2,dx = -174lnlvert x-2rvert, integral 29/4x+2,dx = 294lnlvert x+2rvert
Logo o resultado de (a) é
x^33 - 6x - 174lnlvert x-2rvert + 294lnlvert x+2rvert + C1

Passo 5

Para (b), reescrevemos x^3 = x,(x^2+1) - x. Assim
x^3x^2+1 = x - xx^2+1
Então
integral x^3x^2+1,dx = integral x,dx ;-; integral xx^2+1,dx

Passo 6

Integramos cada parte:
integral x,dx = x^22, e com a substituição u = x^2+1,;du=2x,dx, çã
integral xx^2+1,dx = 12integral duu = 12lnl(x^2+1r)
Portanto o resultado de (b) é
x^22 - 12lnl(x^2+1r) + C2

Resposta

(a) x^33 - 6x - 174lnlvert x-2rvert + 294lnlvert x+2rvert + C
(b) x^22 - 12lnl(x^2+1r) + C

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