Avalie as seguintes integrais:
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas integrais de funções racionais:
(a)
(b)
(a)
(b)
Os conteúdos que vamos usar são
- divisão polinomial para separar parte inteira e resto em (a),
- decomposição em frações parciais para integrar o resto em (a),
- manipulação algébrica e substituição simples em (b).
Passo 2
Para (a), primeiro fazemos a divisão do polinômio
por
.
Dividindo termo a termo:
Dividindo termo a termo:
subtraindo obtemos
.
subtraindo obtemos resto
.
Logo
Logo
Passo 3
Agora decompomos
Igualando numeradores:
Isso gera o sistema
Da segunda equação
A-B=-tfrac232 . Somando com
A+B=3 dá
Passo 4
Substituindo em (a) e integrando termo a termo:
Integramos:
Logo o resultado de (a) é
Passo 5
Para (b), reescrevemos
x^3 = x,(x^2+1) - x . Assim
Então
Passo 6
Integramos cada parte:
Portanto o resultado de (b) é
Resposta
(a)
x^33 - 6x - 174lnlvert x-2rvert + 294lnlvert x+2rvert + C
(b) x^22 - 12lnl(x^2+1r) + C
(b)