Q 8 (Integração Imediata) Encontre a família de primitivas para cada função e em seguida derive para verificar a sua resposta.
integral x^3+sen(x) d x

Passo 1

O enunciado pede a família de primitivas de
f(x)=x^3+sen(x)
e em seguida verificar a resposta derivando. O conteúdo é integração imediata, usando a linearidade das integrais, a fórmula de potência para integral x^n,dx e a integral de sen(x).

Passo 2

Separe a integral pela regra da soma e calcule cada parte:
integrall(x^3+sen(x)r),dx = integral x^3,dx + integral sen(x),dx
Para a primeira parte, use
integral x^3,dx =x^44
Para a segunda parte, sabe-se que
integral sen(x),dx =-cos(x)

Passo 3

Somando os resultados obtemos a primitiva geral
F(x)=x^44-cos(x)+C,
onde C é a constante arbitrária.

Passo 4

Para verificar, derive F(x):
F'(x) =ddxl(tfracx^44r) -ddxl(cos(x)r) =x^3+sin(x),
que coincide com f(x).

Resposta

F(x)=x^44-cos(x)+C

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