Avalie os seguintes limites:
(i) \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-2 x^{2}-9}{x^{2}-2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x^3 - 2x^2 - 9}{x^2 - 2x - 3}.
O conteúdo é limite de função racional, e vamos usar fatoração para eliminar a indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Substituindo x=3 diretamente, o numerador fica
3^3 - 2\cdot3^2 - 9 = 27 - 18 - 9 = 0
e o denominador fica
3^2 - 2\cdot3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0,
portanto temos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Para remover a indeterminação, fatoramos numerador e denominador.
O denominador é
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1).
Para o numerador, dividimos sinteticamente por x-3 ou fatoramos diretamente, obtendo
x^3 - 2x^2 - 9 = (x - 3)(x^2 + x + 3).

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão, para x\neq3 temos
\frac{x^3 - 2x^2 - 9}{x^2 - 2x - 3} = \frac{(x - 3)\,(x^2 + x + 3)}{(x - 3)\,(x + 1)} = \frac{x^2 + x + 3}{x + 1}.
Agora podemos avaliar o limite sem indeterminação:
\lim_{x\to3}\frac{x^2 + x + 3}{x + 1} = \frac{3^2 + 3 + 3}{3 + 1} = \frac{9 + 3 + 3}{4} = \frac{15}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{15}{4}

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