Avalie os seguintes limites:
(iv) \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{|2 x|+x}{2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede avaliar
\lim_{x\to\infty}\frac{|2x|+x}{2x+1}.
Este é um limite no infinito que envolve valor absoluto. Para resolvê-lo, vamos usar a definição de valor absoluto e depois simplificar via fatoração para revelar o comportamento dominante das potências de x.

Passo 2

Quando x\to\infty, temos x>0 e, portanto,
|2x| = 2x.
Substituindo na expressão do limite, fica
\lim_{x\to\infty}\frac{2x + x}{2x + 1} = \lim_{x\to\infty}\frac{3x}{2x + 1}.

Passo 3

Para expor a contribuição dominante de cada termo em x, fatoramos x no numerador e no denominador:
\frac{3x}{2x+1} = \frac{x\cdot 3}{x\bigl(2 + \tfrac1x\bigr)} = \frac{3}{2 + \tfrac1x}.

Passo 4

Agora, ao fazer x\to\infty, o termo \tfrac1x tende a zero. Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{3}{2 + \tfrac1x} = \frac{3}{2 + 0} = \tfrac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{3}{2}

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