(2 pt) Encontre o polinômio característico, autovalores e autovetores de
Passo 1
O enunciado pede o polinômio característico, os autovalores e autovetores da matriz
Conteúdo: determinante de
, resolução da equação característica e solução do sistema
para cada
.
Passo 2
Para achar o polinômio característico calculamos
Desenvolvendo pela primeira coluna,
e
Logo
Passo 3
Explicitemos o fator quadrático:
Assim o polinômio característico é
As raízes são
Passo 4
Para
resolvemos
:
Da segunda equação
e da primeira
vem
. Logo
é livre e podemos escolher
Passo 5
Para
(denotados
) resolvemos
. Das equações 2 e 3 resulta
e a primeira equação dá
Substituindo
e simplificando, para cada caso escolhemos
e obtemos
Resposta
Polinômio característico:
Autovalores:
Autovetores: