(2 pt) Encontre o polinômio característico, autovalores e autovetores de
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 3 \\\\ 0 & 3 & -1 \\\\ 0 & -1 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico, os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\\\ 0 & 3 & -1 \\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
Conteúdo: determinante de A-\lambda I, resolução da equação característica e solução do sistema (A-\lambda I)x=0 para cada \lambda.

Passo 2

Para achar o polinômio característico calculamos
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix} 2-\lambda & -2 & 3 \\\\ 0 & 3-\lambda & -1 \\\\ 0 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Desenvolvendo pela primeira coluna,
\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -1 \\[0.3em] -1 & 2-\lambda\end{pmatrix},
e
\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -1 \\[0.3em] -1 & 2-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(2-\lambda)-1.
Logo
\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)\bigl((3-\lambda)(2-\lambda)-1\bigr).]

Passo 3

Explicitemos o fator quadrático:
(3-\lambda)(2-\lambda)-1 = 6 -5\lambda +\lambda^2 -1 = \lambda^2 -5\lambda +5.
Assim o polinômio característico é
\chi(\lambda) = (2-\lambda)\bigl(\lambda^2 -5\lambda +5\bigr).
As raízes são
\lambda_1 = 2, \quad \lambda_{2,3} = \frac{5\pm\sqrt{25-20}}{2} = \frac{5\pm\sqrt5}{2}.

Passo 4

Para \lambda_1=2 resolvemos (A-2I)x=0:
\begin{pmatrix} 0 & -2 & 3 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0.
Da segunda equação x_2 - x_3=0 e da primeira -2x_2+3x_3=0 vem x_2=x_3=0. Logo x_1 é livre e podemos escolher
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda = \tfrac{5\pm\sqrt5}{2} (denotados \lambda_\pm) resolvemos (A-\lambda_\pm I)x=0. Das equações 2 e 3 resulta
x_3 = (3-\lambda_\pm)x_2,
e a primeira equação dá
(2-\lambda_\pm)x_1 -2x_2 +3x_3 =0 \;\Longrightarrow\; x_1 = \frac{2x_2-3x_3}{2-\lambda_\pm}.
Substituindo x_3=(3-\lambda_\pm)x_2 e simplificando, para cada caso escolhemos x_2=1 e obtemos
v_2 = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt5-7}{2}\\[0.3em] 1\\[0.3em] \frac{1-\sqrt5}{2} \end{pmatrix} \quad\text{em }\lambda_2=\tfrac{5+\sqrt5}{2}, \qquad v_3 = \begin{pmatrix} -\frac{7+\sqrt5}{2}\\[0.3em] 1\\[0.3em] \frac{1+\sqrt5}{2} \end{pmatrix} \quad\text{em }\lambda_3=\tfrac{5-\sqrt5}{2}.]

Resposta

Polinômio característico:
\chi(\lambda) = (2-\lambda)\bigl(\lambda^2 -5\lambda +5\bigr).
Autovalores:
\lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = \frac{5+\sqrt5}{2},\quad \lambda_3 = \frac{5-\sqrt5}{2}.
Autovetores:
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt5-7}{2}\\[0.3em] 1\\[0.3em] \frac{1-\sqrt5}{2} \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} -\frac{7+\sqrt5}{2}\\[0.3em] 1\\[0.3em] \frac{1+\sqrt5}{2} \end{pmatrix}.]

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