Questão 1. Seja f a função f(x)=\sqrt{1-\ln (x-3)}.
(i) Encontre o domínio de f.
(ii) Encontre a função inversa de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \sqrt{1 - \ln(x - 3)}
e pede (i) o domínio de f e (ii) a inversa de f.
Conteúdo usado: para o domínio, as restrições de existência de \ln e de \sqrt{\cdot}; para a inversa, resolver y = f(x) para x e analisar a imagem de f.

Passo 2

Para existir \ln(x-3) precisamos de
x - 3 > 0
isto é,
x > 3.
Para existir \sqrt{1 - \ln(x-3)} precisamos de
1 - \ln(x-3) \ge 0
ou seja,
\ln(x-3) \le 1 \quad\Longrightarrow\quad x - 3 \le e \quad\Longrightarrow\quad x \le 3 + e.

Passo 3

Combinando as duas condições temos
3 < x \le 3 + e.
Logo o domínio de f é
(3,\,3+e].

Passo 4

Para encontrar f^{-1}, seja
y = \sqrt{1 - \ln(x - 3)},
com y\ge0. Esquadrando,
y^2 = 1 - \ln(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad \ln(x - 3) = 1 - y^2.
Aplicando exponencial,
x - 3 = e^{\,1 - y^2} \quad\Longrightarrow\quad x = 3 + e^{\,1 - y^2}.
Portanto a inversa é
f^{-1}(y) = 3 + e^{\,1 - y^2},
definida para y\ge0, pois esse é o conjunto imagem de f.

Resposta

Domínio de f: (3,\,3+e]
Função inversa:
f^{-1}(x) = 3 + e^{\,1 - x^2},\quad x \ge 0.

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