Avalie os seguintes limites.
Passo 1
O problema pede para calcular o limite
Informações dadas importantes:
- A variável
tende a . - A expressão envolve funções trigonométricas compostas:
no numerador e no denominador.
O objetivo é encontrar o valor numérico (se existe) desse limite quandose aproxima de zero.
Passo 2
Principais limites e ideias que vou usar (explicados de forma didática):
- Limite fundamental para o seno:
Isto significa que, para ângulos muito pequenos,
comporta-se praticamente como
. Uma forma de ver isso é pela expansão em série
, então o termo dominante é
. Assim
.
- Limite fundamental para o cosseno:
Isso diz que, para pequenos
,
. Pode-se ver também pela expansão
.
Esses dois limites permitem trocar funções trigonométricas por suas aproximações dominantes quando o argumento tende a zero.
Passo 3
Vou reescrever a expressão de forma a usar os limites acima. Note que, quando
,
e
. Então é natural separar fatores que tendem a 1 (como
).
Começo isolando o denominador usando
:
Pela propriedade 2), o quociente
tende para quando
.
tende para
Então o limite original pode ser escrito como
Ao calcular o limite, a segunda fração tende para
. Resta, portanto, calcular
Passo 4
Calculo de
. Reescrevo o numerador usando que
. Assim
Agora analisamos cada fator quando
:
- Pelo limite 1), como
,
pois é do tipo
com
.
- Pelo mesmo limite 1) aplicado a
,
- Para o último fator,
Como
quando
, tem-se
portanto
Multiplicando os limites (fatores que tendem a 1 e o último que tende a
), obtemos
Passo 5
Volto à expressão original, usando que
Então o limite pedido é