Avalie os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname{sen}(\operatorname{sen} 2 x)}{1-\cos (\operatorname{sen} 4 x)}

Passo 1

O problema pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x\,\operatorname{sen}(\operatorname{sen}2x)}{1-\cos(\operatorname{sen}4x)}.
Informações dadas importantes:
  • A variável x tende a 0.
  • A expressão envolve funções trigonométricas compostas: \operatorname{sen}(\operatorname{sen}2x) no numerador e 1-\cos(\operatorname{sen}4x) no denominador.
    O objetivo é encontrar o valor numérico (se existe) desse limite quando x se aproxima de zero.

Passo 2

Principais limites e ideias que vou usar (explicados de forma didática):
  1. Limite fundamental para o seno:
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}t}{t}=1.
Isto significa que, para ângulos muito pequenos, \operatorname{sen}t comporta-se praticamente como t. Uma forma de ver isso é pela expansão em série \operatorname{sen}t = t - t^3/6 + \cdots, então o termo dominante é t. Assim \operatorname{sen}t/t\to1.
  1. Limite fundamental para o cosseno:
\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^{2}}=\frac{1}{2}.
Isso diz que, para pequenos t, 1-\cos t\approx t^{2}/2. Pode-se ver também pela expansão \cos t = 1 - t^{2}/2 + t^{4}/24 + \cdots.
Esses dois limites permitem trocar funções trigonométricas por suas aproximações dominantes quando o argumento tende a zero.

Passo 3

Vou reescrever a expressão de forma a usar os limites acima. Note que, quando x\to0,
\operatorname{sen}2x\to0 e \operatorname{sen}4x\to0. Então é natural separar fatores que tendem a 1 (como \operatorname{sen}t/t).
Começo isolando o denominador usando \operatorname{sen}4x:
1-\cos(\operatorname{sen}4x) = (\operatorname{sen}4x)^{2}\cdot \frac{1-\cos(\operatorname{sen}4x)}{(\operatorname{sen}4x)^{2}}.
Pela propriedade 2), o quociente
\dfrac{1-\cos(\operatorname{sen}4x)}{(\operatorname{sen}4x)^{2}}
tende para \dfrac{1}{2} quando x\to0.
Então o limite original pode ser escrito como
\frac{x\,\operatorname{sen}(\operatorname{sen}2x)}{1-\cos(\operatorname{sen}4x)} = \frac{x\,\operatorname{sen}(\operatorname{sen}2x)}{(\operatorname{sen}4x)^{2}} \cdot \frac{1}{\dfrac{1-\cos(\operatorname{sen}4x)}{(\operatorname{sen}4x)^{2}}}.
Ao calcular o limite, a segunda fração tende para 1/(1/2)=2. Resta, portanto, calcular
L_1:=\lim_{x\to0}\frac{x\,\operatorname{sen}(\operatorname{sen}2x)}{(\operatorname{sen}4x)^{2}}.

Passo 4

Calculo de L_1. Reescrevo o numerador usando que \operatorname{sen}(\operatorname{sen}2x)=\dfrac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen}2x)}{\operatorname{sen}2x}\cdot\operatorname{sen}2x. Assim
\frac{x\,\operatorname{sen}(\operatorname{sen}2x)}{(\operatorname{sen}4x)^{2}} = \frac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen}2x)}{\operatorname{sen}2x} \cdot \frac{\operatorname{sen}2x}{2x} \cdot \frac{2x^{2}}{(\operatorname{sen}4x)^{2}}.
Agora analisamos cada fator quando x\to0:
  • Pelo limite 1), como \operatorname{sen}2x\to0,
\frac{\operatorname{sen}(\operatorname{sen}2x)}{\operatorname{sen}2x}\longrightarrow 1,
pois é do tipo \operatorname{sen}t/t com t=\operatorname{sen}2x.
  • Pelo mesmo limite 1) aplicado a 2x,
\frac{\operatorname{sen}2x}{2x}\longrightarrow 1.
  • Para o último fator,
\frac{2x^{2}}{(\operatorname{sen}4x)^{2}} = 2\left(\frac{x}{\operatorname{sen}4x}\right)^{2}.
Como \operatorname{sen}4x\sim 4x quando x\to0, tem-se
\frac{x}{\operatorname{sen}4x}\longrightarrow \frac{1}{4},
portanto
2\left(\frac{x}{\operatorname{sen}4x}\right)^{2}\longrightarrow 2\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=2\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{8}.
Multiplicando os limites (fatores que tendem a 1 e o último que tende a 1/8), obtemos
L_1 = \frac{1}{8}.

Passo 5

Volto à expressão original, usando que
\frac{1-\cos(\operatorname{sen}4x)}{(\operatorname{sen}4x)^{2}}\longrightarrow \frac{1}{2}.
Então o limite pedido é
\lim_{x\to 0}\frac{x\,\operatorname{sen}(\operatorname{sen}2x)}{1-\cos(\operatorname{sen}4x)} = \frac{L_1}{1/2} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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