Avalie os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{2-3 x}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se o valor do limite \lim_{x\to+\infty}\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{2-3x}\right).
  • A expressão dentro do seno é \frac{\pi x}{2-3x} e a variável x tende para (+\infty).

Passo 2

Calcular o limite da expressão que está dentro do seno:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\pi x}{2-3x}.
Para isso, divido numerador e denominador por x (estratégia padrão quando x\to\pm\infty em frações racionais):
\frac{\pi x}{2-3x}=\frac{\pi}{\tfrac{2}{x}-3}.
Agora tomo o limite quando x\to+\infty. Sabendo que \lim_{x\to+\infty}\tfrac{2}{x}=0, obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{\pi x}{2-3x}=\frac{\pi}{0-3}=\frac{\pi}{-3}=-\frac{\pi}{3}.

Passo 3

Usar continuidade da função seno para passar o limite para dentro da função.
A função \operatorname{sen}(t) é contínua para todo t\in\mathbb{R}. Uma propriedade fundamental de funções contínuas é: se \lim_{x\to a} u(x)=L e f é contínua em L, então \lim_{x\to a} f(u(x))=f(L).
Como já vimos que
\lim_{x\to+\infty}\frac{\pi x}{2-3x}=-\frac{\pi}{3},
pela continuidade de \operatorname{sen} vale
\lim_{x\to+\infty}\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi x}{2-3x}\right)=\operatorname{sen}\!\left(-\frac{\pi}{3}\right).

Passo 4

Avaliar \operatorname{sen}\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right).
Usando a propriedade de paridade do seno, \operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}(\theta), temos
\operatorname{sen}\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}\right).
Do círculo trigonométrico sabe-se que \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
\operatorname{sen}\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Conclusão final: combinando os passos anteriores, o limite pedido é -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

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