Avalie os seguintes limites.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se o valor do limite
. - A expressão dentro do seno é
e a variável tende para .
Passo 2
Calcular o limite da expressão que está dentro do seno:
Para isso, divido numerador e denominador por
(estratégia padrão quando
em frações racionais):
Agora tomo o limite quando
. Sabendo que
, obtemos
Passo 3
Usar continuidade da função seno para passar o limite para dentro da função.
A função
é contínua para todo
. Uma propriedade fundamental de funções contínuas é: se
e
é contínua em
, então
.
Como já vimos que
pela continuidade de
vale
Passo 4
Avaliar
.
Usando a propriedade de paridade do seno,
, temos
Do círculo trigonométrico sabe-se que
. Portanto
Passo 5
Conclusão final: combinando os passos anteriores, o limite pedido é
.