Mostre que as seguintes equações têm no mínimo, uma solução no intervalo dado.
2 sen
em
2 sen
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
.
Informações relevantes dadas:
- A equação a resolver é
. - O intervalo a considerar é
. - Precisa-se apenas garantir a existência de ao menos uma solução dentro desse intervalo (não é necessário achar o valor exato).
Passo 2
Transformar a equação numa função cuja raiz procuramos. Defino a função
Procuramos
tal que
, ou seja, tal que
.
Passo 3
Explicar por que podemos usar o Teorema do Valor Intermediário. O Teorema do Valor Intermediário (TVI) diz: se uma função
é contínua em
e
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe
com
.
Agora justifico que
é contínua em
:
- A função
é contínua em todo . - A função
é contínua em todo . - Soma e diferença de funções contínuas são contínuas.
Logoé contínua em e podemos aplicar o TVI.
Passo 4
Calcular
. Usando
,
Portanto
.
Passo 5
Estimar
sem depender de calculadora exata. Temos
Observe que
, e
é crescente em
. Assim
Logo
Como
, tem-se
. Portanto
Assim
.
Passo 6
Aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Encontramos
e
, e
é contínua em
. Pelo TVI existe pelo menos um
tal que
. Em outras palavras, existe
com