Mostre que as seguintes equações têm no mínimo, uma solução no intervalo dado.
2 sen x=3-2 x em (0,1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
2\sin x = 3 - 2x
tem pelo menos uma solução no intervalo (0,1).
Informações relevantes dadas:
  • A equação a resolver é 2\sin x = 3 - 2x.
  • O intervalo a considerar é (0,1).
  • Precisa-se apenas garantir a existência de ao menos uma solução dentro desse intervalo (não é necessário achar o valor exato).

Passo 2

Transformar a equação numa função cuja raiz procuramos. Defino a função
f(x) = 2\sin x - (3 - 2x) = 2\sin x + 2x - 3.
Procuramos c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0, ou seja, tal que 2\sin c = 3 - 2c.

Passo 3

Explicar por que podemos usar o Teorema do Valor Intermediário. O Teorema do Valor Intermediário (TVI) diz: se uma função f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então existe c\in(a,b) com f\text{(c)}=0.
Agora justifico que f é contínua em [0,1]:
  • A função \sin x é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A função 2x é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Soma e diferença de funções contínuas são contínuas.
    Logo f(x)=2\sin x+2x-3 é contínua em [0,1] e podemos aplicar o TVI.

Passo 4

Calcular f(0). Usando \sin 0 = 0,
f(0)=2\sin 0 + 2\cdot 0 - 3 = -3.
Portanto f(0) = -3 < 0.

Passo 5

Estimar f(1) sem depender de calculadora exata. Temos
f(1)=2\sin 1 + 2\cdot 1 - 3 = 2\sin 1 - 1.
Observe que 0<\dfrac{\pi}{4}<1<\dfrac{\pi}{2}, e \sin x é crescente em [0,\tfrac{\pi}{2}]. Assim
\sin 1 > \sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Logo
2\sin 1 - 1 > 2\cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \sqrt{2} - 1.
Como \sqrt{2}\approx 1{,}414>1{,}4, tem-se \sqrt{2}-1>0{,}4>0. Portanto
f(1)=2\sin 1 -1 > \sqrt{2}-1 > 0.
Assim f(1)>0.

Passo 6

Aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Encontramos f(0)<0 e f(1)>0, e f é contínua em [0,1]. Pelo TVI existe pelo menos um c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0. Em outras palavras, existe c\in(0,1) com
2\sin c = 3 - 2c.

Resposta

\exists c\in(0,1) tal que 2\sin c = 3 - 2c.

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