Avalie os seguintes limites em termos de alpha=lim x 0 sen xx :
star lim x 0 tan ^2 x+2 xx+x^2;

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
limxto0tan^2 x + 2xx + x^2
sabendo que
alpha = limxto0sin xx
O conteúdo aqui é usar a definição de alpha e as aproximações de pequeno ângulo para seno e cosseno, sem recorrer diretamente a L’Hôpital.

Passo 2

Para x muito pequeno, temos
sin x = alpha,x + o(x), cos x = 1 + o(1)
Logo
tan x = sin xcos x = alpha,x + o(x)1 + o(1) = alpha,x + o(x)

Passo 3

Elevar ao quadrado dá
tan^2 x = (alpha,x + o(x))^2 = alpha^2,x^2 + o(x^2)
Então o numerador fica
tan^2 x + 2x = alpha^2,x^2 + 2x + o(x^2),
e o denominador
x + x^2 = x,(1 + x)
Assim
tan^2 x + 2xx + x^2 = 2x + alpha^2,x^2 + o(x^2)x,(1+x) = 2 + alpha^2,x + o(x)1 + x

Passo 4

Tomando xto0 em
2 + alpha^2,x + o(x)1 + x
vem imediatamente
limxto0tan^2 x + 2xx + x^2 = 21 = 2

Resposta

2

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