Prove que lim x a f(x) existem se lim x a^+ f(x)=lim x a^- f(x). ( lim x a^- f(x) e lim x a^+ f(x) chamam-se limite lateral à esquerda e limite lateral à direita, respectivamente.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se os limites laterais de uma função f em x=a existem e coincidem, então o limite bilateral também existe e é igual a esse mesmo valor. O conteúdo usado será a definição epsilon de<a de limite (bilateral e unilateral).

Passo 2

Sejam dados
limxto a^-f(x)=L e limxto a^+f(x)=L
Pela definição de limite lateral à esquerda, para todo varepsilon>0 existe de<a1>0 tal que
0<a - x<de<a1 Longrightarrow l|f(x)-Lr|<varepsilon
Pela definição de limite lateral à direita, para todo varepsilon>0 existe de<a2>0 tal que
0<x - a<de<a2 Longrightarrow l|f(x)-Lr|<varepsilon

Passo 3

Definimos
de<a=minde<a1,de<a2
Então, se 0<|x-a|<de<a, temos dois casos:
  • Se x<a então 0<a-x<de<a<=de<a1, logo l|f(x)-Lr|<varepsilon.
  • Se x>a então 0<x-a<de<a<=de<a2, logo l|f(x)-Lr|<varepsilon.

Passo 4

Assim, para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que 0<|x-a|<de<a implica l|f(x)-Lr|<varepsilon. Isso mostra, pela definição epsilon de<a, que
limxto af(x)=L

Resposta

limxto af(x) existe e vale L.

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