Avalie os seguintes limites em termos de alpha=lim x 0 sen xx :
star lim x 0 x^2(3+sen x)(x+sen x)^2;

Passo 1

O enunciado pede
limxto0x^2l(3+sen xr)(x+sen x)^2
e nos diz para expressar o resultado em função de alpha=limxto0sen xx. O conteúdo principal é usar a relação sen x = xl(sen x / xr) e o fato de que sen x/xtoalpha.

Passo 2

Reescrevemos sen x como xcdot(sen x/x) e fatoramos x:
x^2l(3+sen xr)(x+sen x)^2 =x^2l(3 + xsen xxr)l(x + xsen xxr)^2 =x^2l(3 + xsen xxr)x^2l(1 + tfracsen xxr)^2

Passo 3

Cancelamos o fator comum x^2:
x^2l(3+sen xr)(x+sen x)^2 =3 + xsen xxl(1 + tfracsen xxr)^2

Passo 4

Tomamos o limite xto0. Como sen x/xtoalpha e xto0, temos
limxto03 + xsen xxl(1 + tfracsen xxr)^2 =3 + 0cdotalpha(1+alpha)^2 =3(1+alpha)^2

Resposta

boxed3(1+alpha)^2

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