Suponhamos que
e
.
Prove que
.
O que acontece se
?
c)
A alínea
permite nos encontrar
em termos de
. Encontre este limite de outras formas.
c)
Passo 1
O enunciado diz que
e que
. Precisamos:
. Provar que
.
. Discutir o que ocorre se
.
. Usar (a) para obter
em termos de
e, além disso, calcular esse limite por outras técnicas (identidade trig, L’Hôpital, Taylor).
Passo 2
Para
, observe que
Como
, quando
temos
e, pela hipótese,
Logo
Passo 3
Se
, a expressão vira
- Se
, então diverge (não existe limite finito). - Se definições adicionais garantirem
, então para todo e o limite vale .
Passo 4
Tomando
e
, da alínea (a) segue
pois
.
Passo 5
Outras formas de chegar a
:
numerador e denominador tendem a zero, então
Resposta
a)
limxto0f(bx)x=bL
b) Parab=0 ,
f(0)x não tem limite finito a menos que
f(0)=0 , caso em que vale
0 .
c)limxto0sen(2x)x=2 .
b) Para
c)