Suponhamos que lim x 0 f(x)x=L e b neq 0.
a) star Prove que lim x 0 f(b x)x=b L.
b) star O que acontece se b=0 ?
c) star A alínea (a) permite nos encontrar lim x 0 sen 2 xx em termos de lim x 0 sen xx. Encontre este limite de outras formas.

Passo 1

O enunciado diz que
limxto 0f(x)x=L
e que bneq0. Precisamos:
1. Provar que limxto0f(bx)x=bL.
2. Discutir o que ocorre se b=0.
3. Usar (a) para obter
limxto0sen(2x)x
em termos de limxto0sen xx e, além disso, calcular esse limite por outras técnicas (identidade trig, L’Hôpital, Taylor).

Passo 2

Para limxto0f(bx)x, observe que
f(bx)x =f(bx)bx,cdot b
Como bneq0, quando xto0 temos bxto0 e, pela hipótese,
f(bx)bx;longrightarrow;L
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limxto0f(bx)x =b;limxto0f(bx)bx =bL

Passo 3

Se b=0, a expressão vira
f(0cdot x)x=f(0)x
  • Se f(0)neq0, então f(0)/x diverge (não existe limite finito).
  • Se definições adicionais garantirem f(0)=0, então f(0)/x=0 para todo xneq0 e o limite vale 0.

Passo 4

Tomando f(x)=sen x e b=2, da alínea (a) segue
limxto0sen(2x)x =2;limxto0sen(2x)2x =2cdot1 =2,
pois limuto0sen uu=1.

Passo 5

Outras formas de chegar a limxto0sen(2x)x=2:
1. Identidade trigonométrica:
sen(2x)=2,sen xcos x Longrightarrow sen(2x)x =2sen xxcos x ;xrightarrow[xto0];2cdot1cdot1=2
2. Regra de L’Hôpital:
numerador e denominador tendem a zero, então
limxto0sen(2x)x =limxto0d(sen(2x))/dxd(x)/dx =limxto02cos(2x)1 =2cos0=2
3. Série de Taylor em torno de 0:
sen x=x-tfracx^36+O(x^5), então
sen(2x)=2x-tfrac8x^36+O(x^5) e
sen(2x)x =2-4x^23+O(x^4) ;xrightarrow[xto0];2

Resposta

a) limxto0f(bx)x=bL
b) Para b=0, f(0)x não tem limite finito a menos que f(0)=0, caso em que vale 0.
c) limxto0sen(2x)x=2.

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