Se
existe e
existem, isto implica que
existe?
Passo 1
O enunciado pergunta o seguinte: temos duas funções
e
e sabemos que
existe e que
existe.
A questão é saber se disso podemos concluir que também existe.
O conteúdo aqui é análise de limites e uso das propriedades de operações com limites.
A questão é saber se disso podemos concluir que
O conteúdo aqui é análise de limites e uso das propriedades de operações com limites.
Passo 2
Primeiro, observe a regra de divisão de limites: se
e
existirem e
, então podemos escrever
e passar ao limite para obter
ou seja, o limite de
existe e vale
.
Passo 3
Porém, se
, a divisão acima não é válida e o fato de
ter limite pode “mascarar” divergências ou oscilações de
.
Exemplo concreto:
defina
Exemplo concreto:
defina
para
, e estenda arbitrariamente em
. Então
porém
não tem limite quando
(oscila entre
e
).
Passo 4
Com esse contraexemplo vemos que não basta saber que
e
existem: se
, o limite de
pode falhar em existir.
Resposta
Não. Em geral, a existência de
e
não garante que
exista, salvo no caso especial em que
.