Se lim x a f(x) existe e lim x a f(x) g(x) existem, isto implica que lim x a g(x) existe?

Passo 1

O enunciado pergunta o seguinte: temos duas funções f e g e sabemos que
limxto af(x) existe e que limxto al(f(x),g(x)r) existe.
A questão é saber se disso podemos concluir que limxto ag(x) também existe.
O conteúdo aqui é análise de limites e uso das propriedades de operações com limites.

Passo 2

Primeiro, observe a regra de divisão de limites: se limxto af(x)=L e limxto al(f(x),g(x)r)=M existirem e Lneq 0, então podemos escrever
g(x) ;=;f(x),g(x)f(x)
e passar ao limite para obter
limxto ag(x) =limlimitsxto al(f(x),g(x)r)limlimitsxto af(x) =ML,
ou seja, o limite de g existe e vale M/L.

Passo 3

Porém, se limxto af(x)=0, a divisão acima não é válida e o fato de f(x),g(x) ter limite pode “mascarar” divergências ou oscilações de g(x).
Exemplo concreto:
defina
f(x)=x, g(x)=sin!l(1/xr),
para xneq 0, e estenda arbitrariamente em x=0. Então
limxto 0f(x)=0, limxto 0l(f(x),g(x)r) =limxto 0xsin!l(1/xr)=0,
porém g(x)=sin(1/x) não tem limite quando xto 0 (oscila entre -1 e 1).

Passo 4

Com esse contraexemplo vemos que não basta saber que lim f(x) e liml(fgr) existem: se lim f(x)=0, o limite de g(x) pode falhar em existir.

Resposta

Não. Em geral, a existência de limxto af(x) e limxto al(f(x),g(x)r) não garante que limxto ag(x) exista, salvo no caso especial em que limxto af(x)neq 0.

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