Encontre os seguintes limites
lim x infty x sen xx^2+5;

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxtoinftyxsen xx^2+5
O conteúdo aqui é limite no infinito envolvendo função oscilante ( sen x) e polinomial. Vamos usar o Teorema do Confronto (squeeze) explorando que sen x é limitada.

Passo 2

Sabemos que, para todo x,
-1 <= sen x <= 1
Multiplicando essa desigualdade por x (para x>0) temos
-|x|<= x,sen x<= |x|

Passo 3

Dividindo tudo por x^2+5 (positivo para todo x), obtemos
-|x|x^2+5;<=;x,sen xx^2+5;<=;|x|x^2+5
Para xtoinfty,
|x|x^2+5=xx^2+5 e limxtoinftyxx^2+5=0
porque o grau do denominador é maior que o do numerador.

Passo 4

Como tanto -xx^2+5 quanto xx^2+5 tendem a 0 quando xtoinfty, o Teorema do Confronto garante
limxtoinftyx,sen xx^2+5=0

Resposta

0

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