Avalie se as sequências abaixo são convergentes ou não
a_{n} = \frac{3^{n}(2)^{n}}{2^{n + 1}(1)^{n + 1}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_{n} = \frac{3^{n} \, 2^{n}}{2^{n+1} \, 1^{n+1}}
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é estudo de limites de sequências para determinar convergência.

Passo 2

Primeiro simplificamos as potências de 2 e de 1:
a_{n} = \frac{3^{n} \, 2^{n}}{2^{n+1} \, 1^{n+1}} = \frac{3^{n}\,2^{n}}{2^{n}\cdot 2 \cdot 1} = \frac{3^{n}}{2}.

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de
\frac{3^{n}}{2}
quando n \to \infty. Como 3>1, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{3^{n}}{2}=+\infty.
Ou seja, a sequência não se aproxima de um número finito.

Resposta

A sequência é divergente (ela tende a +\infty, não converge para valor finito).

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