( 0.8 pontos) Utilize o teste da integral para mostrar se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+5 n+6} converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado nos dá a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+5n+6}
e pede para usar o teste da integral para verificar se ela converge ou diverge.

Passo 2

Definimos a função \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+5x+6}
para x\ge1. Observamos que f(x)>0. Para ver que f é decrescente, calculamos a derivada:
f'(x) =-\frac{2x+5}{(x^{2}+5x+6)^{2}} <0 \quad\text{para }x\ge1,
logo f é decrescente e atende às hipóteses do teste da integral.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral e consideramos a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+5x+6}.
Fazemos decomposição em frações parciais:
\frac{1}{x^{2}+5x+6} =\frac{1}{(x+2)(x+3)} =\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int_{1}^{t}\frac{dx}{x^{2}+5x+6} =\int_{1}^{t}\Bigl(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\Bigr)dx =\bigl[\ln(x+2)-\ln(x+3)\bigr]_{1}^{t}.
Avaliando o limite t\to\infty obtemos
\lim_{t\to\infty}\bigl(\ln(t+2)-\ln(t+3)\bigr) -\bigl(\ln3-\ln4\bigr) =0-\ln\frac{3}{4} =\ln\frac{4}{3},
que é finito. Portanto a integral converge.

Passo 5

Pelo teste da integral, se a integral imprópria converge, então a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+5n+6}
também converge.

Resposta

A série converge.

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