( 0.8 pontos) Utilize o teste da integral para mostrar se a série
converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para usar o teste da integral para verificar se ela converge ou diverge.
e pede para usar o teste da integral para verificar se ela converge ou diverge.
Passo 2
Definimos a função
para . Observamos que
. Para ver que
é decrescente, calculamos a derivada:
para
logo
é decrescente e atende às hipóteses do teste da integral.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral e consideramos a integral imprópria
Fazemos decomposição em frações parciais:
Passo 4
Integramos termo a termo:
Avaliando o limite
obtemos
que é finito. Portanto a integral converge.
Passo 5
Pelo teste da integral, se a integral imprópria converge, então a série
também converge.
também converge.
Resposta
A série converge.