Responda Verdadeiro ou Falso nos itens abaixo, justificando sua resposta.
A soma da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)} é 3 .

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a afirmação “A soma da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)} é 3” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve séries numéricas e, em particular, séries telescópicas. Vamos usar decomposição em frações parciais e o cálculo de soma de série telescópica.

Passo 2

Decomponho o termo geral em frações parciais:
\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}.
Multiplicando por n(n+2) vem
1 = A(n+2) + Bn = (A+B)n + 2A.
Igualando coeficientes,
A+B = 0, \quad 2A = 1 \;\Longrightarrow\; A = \tfrac12,\; B = -\tfrac12.
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\frac{1}{n(n+2)} = \frac12\Bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\Bigr).

Passo 3

Considero a soma parcial S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+2)}. Substituindo a decomposição,
S_N = \frac12 \sum_{n=1}^N \Bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\Bigr).
Escrevendo os termos, percebe-se que a maioria cancela:
S_N = \frac12\Bigl((1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots+\tfrac{1}{N}) - (\tfrac13+\tfrac14+\cdots+\tfrac{1}{N+2})\Bigr) = \frac12\Bigl(1 + \tfrac12 - \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N+2}\Bigr).

Passo 4

Faço N\to\infty. Como \tfrac{1}{N+1}\to0 e \tfrac{1}{N+2}\to0, tem-se
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)} = \lim_{N\to\infty} S_N = \frac12\Bigl(1 + \tfrac12\Bigr) = \frac12\cdot\frac32 = \frac34.

Passo 5

Concluímos que a soma da série é \tfrac34, não 3. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

Falso.

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