Avalie se as sequências abaixo são convergentes ou não
a_{n}=\frac{3^{n}+(-2)^{n}}{2^{n+1}+(-1)^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar se a sequência
a_{n}=\frac{3^{n}+(-2)^{n}}{2^{n+1}+(-1)^{n+1}}
é convergente. O conteúdo aqui é limite de sequência real, usando a ideia de termos dominantes quando n\to\infty.

Passo 2

Fatoramos no numerador e no denominador as potências que crescem mais rápido, isto é, 3^n e 2^{n+1}. Assim,
a_{n} = \frac{3^{n}\Bigl(1 + \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}\Bigr)}{2^{n+1}\Bigl(1 + \tfrac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}\Bigr)} = \frac{1}{2}\,\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{n} \;\frac{1 + \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}}{1 + \tfrac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}}\,.

Passo 3

Analisamos os fatores que tendem a 1 ou a 0 quando n\to\infty: \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}\to0 e \tfrac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}\to0. Logo
\frac{1 + \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{n}}{1 + \tfrac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;1.

Passo 4

Restará, para grandes n,
a_{n}\approx \frac{1}{2}\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{n}.
Como \tfrac32>1, o termo \bigl(\tfrac32\bigr)^{n} cresce sem limite, de modo que a_n\to+\infty.

Resposta

A sequência diverge (vai para +\infty), portanto não é convergente.

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