Avalie se as sequências abaixo são convergentes ou não
a_{n}=\left(\frac{3 n+1}{3 n-1}\right)^{n}

Passo 1

Queremos saber se a sequência
a_{n}=\Bigl(\tfrac{3n+1}{3n-1}\Bigr)^{n}
converge e, em caso afirmativo, determinar o seu limite. Para isso vamos usar o limite clássico do tipo (1+u_n)^{v_n} com u_n\to0 e v_n\to\infty, onde (1+u_n)^{v_n}\to e^{\lim(v_nu_n)}.

Passo 2

Reescrevemos o fator dentro da potência de modo a evidenciar a forma 1+u_n:
\frac{3n+1}{3n-1} =1+\frac{(3n+1)-(3n-1)}{3n-1} =1+\frac{2}{3n-1}.
Logo
a_n =\Bigl(1+\tfrac{2}{3n-1}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Tomamos o logaritmo para analisar o comportamento da sequência:
\ln a_n =n\;\ln\!\Bigl(1+\tfrac{2}{3n-1}\Bigr).
Como \tfrac{2}{3n-1}\to0, usamos a aproximação \ln(1+u)\sim u quando u\to0. Assim
\lim_{n\to\infty}\ln a_n =\lim_{n\to\infty}n\cdot\frac{2}{3n-1} =\frac{2}{3}.

Passo 4

Voltando da escala logarítmica, concluímos
\lim_{n\to\infty}a_n =\exp\!\Bigl(\lim_{n\to\infty}\ln a_n\Bigr) =\exp\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr) =e^{2/3}.
Portanto, a_n converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é e^{2/3}.

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