Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 e^{2 x}+\cos (x)}{e^{2 x}+\operatorname{sen}(x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2e^{2x} + \cos(x)}{e^{2x} + \operatorname{sen}(x)} \, dx
usando o método de substituição. Aqui percebemos que o numerador é exatamente a derivada do denominador, característica típica de uma integral do tipo \int f'(x)/f(x)\,dx.

Passo 2

Definimos a substituição
u = e^{2x} + \operatorname{sen}(x).
Então, derivando em relação a x, obtemos
du = \bigl(2e^{2x} + \cos(x)\bigr)\,dx.
Isso mostra que o numerador 2e^{2x} + \cos(x) aparece em du, de modo que
\frac{2e^{2x} + \cos(x)}{e^{2x} + \operatorname{sen}(x)}\,dx = \frac{du}{u}.

Passo 3

Substituindo na integral original, ela se torna
\int \frac{du}{u}.
Pela fórmula básica de integração, temos
\int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C.
Como no intervalo de x\in[0,\pi/2] temos u=e^{2x}+\operatorname{sen} x>0, podemos omitir as barras de valor absoluto:
F(x) = \ln\bigl(e^{2x} + \operatorname{sen}(x)\bigr).

Passo 4

Agora avaliamos F(x) de 0 a \pi/2:
F\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \ln\bigl(e^{\pi} + \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})\bigr) = \ln\bigl(e^{\pi} + 1\bigr),
F(0) = \ln\bigl(e^{0} + \operatorname{sen}(0)\bigr) = \ln(1) = 0.
Portanto, a integral definida vale
F\!\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr) - F(0) = \ln\bigl(e^{\pi} + 1\bigr).

Resposta

\ln\bigl(e^{\pi} + 1\bigr)

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