Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x}}{e^{2 x}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
I = \int_{0}^{1} \frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}\,dx
usando o método de substituição. Vamos usar teoria de mudança de variável para transformar a integral num logaritmo.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = e^{2x} + 1.
Diferenciando em relação a x,
\frac{du}{dx} = 2\,e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad e^{2x}\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Precisamos também trocar os limites:
quando x=0, u = e^{0}+1 = 2;
quando x=1, u = e^{2}+1.
Substituindo na integral,
I = \int_{u=2}^{\,e^{2}+1} \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} = \frac12 \int_{2}^{\,e^{2}+1} \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

A integral de 1/u é \ln u. Logo,
I = \frac12 \Bigl[\ln u\Bigr]_{2}^{\,e^{2}+1} = \frac12\bigl(\ln(e^{2}+1) - \ln 2\bigr) = \frac12 \ln\!\biggl(\frac{e^{2}+1}{2}\biggr).

Resposta

\int_{0}^{1} \frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}\,dx = \frac12 \ln\!\Bigl(\frac{e^{2}+1}{2}\Bigr).

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