Esboce as curvas de nível de f, para os seguintes c :
f(x, y)=4 x^{2}+9 y^{2}, c=0,2,4,6

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas de nível de
f(x,y) = 4x^{2} + 9y^{2}
para os valores c = 0,2,4,6. O conteúdo principal aqui é reconhecer que cada curva de nível f(x,y)=c é uma elipse (ou ponto degenerado) no plano (x,y).

Passo 2

Escrevendo a equação da curva de nível genérica:
4x^{2} + 9y^{2} = c.

Passo 3

Para ver que isso é uma elipse, dividimos os dois lados por c:
\frac{4x^{2}}{c} + \frac{9y^{2}}{c} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{c/4} + \frac{y^{2}}{c/9} = 1.
Logo os semi-eixos são
a = \sqrt{\frac{c}{4}}, \quad b = \sqrt{\frac{c}{9}}.

Passo 4

Agora, para cada valor de c:
\begin{aligned} c=0:&\quad a=0,\;b=0\quad\Rightarrow\quad\text{ponto }(0,0).\\[6pt] c=2:&\quad a=\sqrt{\tfrac{2}{4}}=\tfrac{\sqrt{2}}{2},\; b=\sqrt{\tfrac{2}{9}}=\tfrac{\sqrt{2}}{3} \quad\text{(elipse com interseções em }(\pm\tfrac{\sqrt2}{2},0)\text{ e }(0,\pm\tfrac{\sqrt2}{3})).\\[6pt] c=4:&\quad a=\sqrt{\tfrac{4}{4}}=1,\; b=\sqrt{\tfrac{4}{9}}=\tfrac{2}{3} \quad\text{(elipse com interseções em }(\pm1,0)\text{ e }(0,\pm\tfrac{2}{3})).\\[6pt] c=6:&\quad a=\sqrt{\tfrac{6}{4}}=\tfrac{\sqrt{6}}{2},\; b=\sqrt{\tfrac{6}{9}}=\tfrac{\sqrt{6}}{3} \quad\text{(elipse com interseções em }(\pm\tfrac{\sqrt6}{2},0)\text{ e }(0,\pm\tfrac{\sqrt6}{3})). \end{aligned}çõçõçõ
Conforme c aumenta, as elipses ficam maiores, todas centradas na origem e alinhadas com os eixos.]

Resposta

c =0: ponto (0,0)
c =2: elipse com semi-eixos \frac{\sqrt{2}}{2} e \frac{\sqrt{2}}{3}
c =4: elipse com semi-eixos 1 e \tfrac{2}{3}
c =6: elipse com semi-eixos \tfrac{\sqrt{6}}{2} e \tfrac{\sqrt{6}}{3}

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